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V. Metrische Geometrie.
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von {PQR), also von [PO] in allen Ebenen von [PO] liegen auf
der Fußpunktgeraden von P in (PQR). Demnach hat jede eigent-
liche Gerade eine Polare. Je zwei Lote einer eigentlichen Ebene liegen
in einer Ebene, gehen durch einen Punkt; also gehen alle durch einen
Punkt d. h. jede eigentliche Ebene hat genau einen Pol. Ist S der Pol
von {PQR), so ist S ein Lotschnittpunkt von [PQ] und von [PR],
d. h. Schnittpunkt der Polaren von [PQ] und [PR]. Irgend drei Ge-
rade P, Q, R eines Punktes O, die nicht in einer Ebene liegen, haben
Polaren, die zu je zweien in einer Ebene liegen; sie gehen nicht alle
drei durch einen Punkt S, denn der wäre zugleich Pol von {PQ},
{PR}, {R}, was nach vorhergehendem unmöglich; demnach liegen
die drei Polaren, also alle Polaren der Geraden von O in einer Ebene,
seiner Polarebene. Demnach hat jeder Punkt eine Polarebene, und
liegt ein Punkt in einer eigentlichen Ebene, so geht seine Polarebene
durch den Pol der Ebene.
=
Auf jeder eigentlichen Ebene einer uneigentlichen Geraden P
= [PQ] liegt jeder Punkt von P; also liegen deren Pole in den
Polarebenen aller Punkte von P, also in der Schnittgeraden der Polar-
ebenen von P und Q. Also hat jede uneigentliche Gerade eine Polare.
Je zwei Gerade [PQ], [PR] einer uneigentlichen Ebene {PQR}
haben Polaren, die in der Polarebene von P liegen, sich also schneiden;
je drei Gerade [PQ], [PR], [QR], die nicht durch einen Punkt gehen,
haben also Polaren, die sich zu je zweien schneiden; sie können nicht
in einer Ebene liegen, denn diese wäre Polarebene von P, von Q und
von R, gegen das oben Bewiesene. Also gehen sie durch einen Punkt,
den Pol der uneigentlichen Ebene (PQR}. Also hat jede uneigent-
liche Ebene einen Pol, und liegt ein Punkt in einer uneigentlichen
Ebene, so geht seine Polarebene durch deren Pol.
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Koordinaten, nicht-Euklidisch.*)
81. Es werden jetzt, wie in II 150 S. 135, Koordinaten eingeführt,
aber zu dem Zwecke die Grundpunkte ø, ¼₁, ½, A¸ in folgender Weise
gewählt. A sei ein beliebiger eigentlicher Punkt, A, ein beliebiger
von A verschiedener Punkt in der Polarebene von A, A, ein be-
liebiger von A, und 4, verschiedener Punkt in der Polargeraden von
[44], also in den Polarebenen von A und von A₁, A, sei der Pol
der Ebene (44, 4). Demnach ist noch {4, 4, 4} die Polarebene
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*) Anders als im folgenden begründet Schur, Math. Ann. 55 (1902) p. 265
die nicht-Euklidische Koordinatengeometrie.