Art. 77-78.
271
von & auf 5.
so folgt, daß
punkt von
Es sei [GH], HH₁ = GG₁, also GHH ~HGG₁,
G G₁H = HH₁ G einem Rechten, d. h. H Lotschnitt-
1
ist.
P
78. Satz: Falls auf jeder Geraden mehr als ein uneigentlicher
Punkt existiert, definiere man in einer Ebene als Fußpunktgerade
eines uneigentlichen Punktes (65) die Verbindungsgerade der Lot-
schnittpunkte zweier eigentlichen Ge-
raden und H des Punktes, und als
Lotschnittpunkt einer uneigentlichen
Geraden [PQ] den Schnittpunkt der
Fußpunktgeraden zweier uneigentlichen
Punkte P, Q derselben. Alsdann hat
allgemein jede Gerade genau einen Lot-
schnittpunkt, jeder Punkt genau eine
Fußpunktgerade, und liegt ein Punkt
auf einer Geraden, so geht seine Fuß-
punktgerade durch den Lotschnittpunkt
der Geraden.
Q
Beweis: Daß jede eigentliche Ge-
rade genau einen Lotschnittpunkt hat,
wird wie in 76 bewiesen. Gäbe es
(s. Fig.) zu einem eigentlichen Punkte
P zwei Fußpunktgeraden P und P′ und
schneidet von P die Geraden P, P' in G, G', so müßte, nach De-
finition, G sowohl wie G' Lotschnittpunkt einer Geraden [PQ] __ G
sein, gegen den eben bewiesenen
Satz. Liegt ein eigentlicher Punkt
auf einer eigentlichen Geraden,
so geht seine Fußpunktgerade
durch den Lotschnittpunkt der
Geraden, wie unmittelbar aus den
Definitionen folgt.
P
K' 5' 5 G' K
Um zu zeigen, daß zu einem
uneigentlichen Punkte P genau
eine Fußpunktgerade gehört, muß
man beweisen, daß die Lotschnitt-
punkte aller eigentlichen Geraden.
von P auf einer Geraden liegen.
Es seien G, H, K drei Gerade
B
A
D2
C₂
P
A,
B,
A2
P
D₁₂
eines uneigentlichen Punktes P (s. Fig.), G′, H', K' ihre drei Mittel-
geraden, [C₁AC₂] und [D₁BD₂] &, [С, A₁C] und [DB₁D] ¦ §,
B₂