Art. 74-76.
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Sind beide Bedingungen erfüllt, so gilt offenbar der Satz von der
Geraden als kürzester.
Im Euklidischen Fall, wo auf jeder Geraden genau ein uneigent-
licher Punkt liegt und die Eichovale einen Mittelpunkt haben, alle
einander ähnlich und ähnlichliegend
werden, ist die Bedingung dann und
nur dann erfüllt, wenn dieselben überall
konvex sind; denn andernfalls existieren
(s. Fig.) Paare von Eichovalen mit
mehr als zwei Schnittpunkten.
Im Falle, daß auf jeder Geraden
mehr als ein uneigentlicher Punkt
liegt, ist die Bedingung erfüllt, wenn
das Grenzoval überall konvex ist, wie
der oben (71) gegebene Beweis er-
kennen läßt. Demnach ist in diesem
Falle der Satz von der Geraden als
kürzester dem Anordnungsgrundsatz
der uneigentlichen Punkte gleichbe-
deutend, daß zwei eigentliche und zwei uneigentliche Punkte einer
Geraden sich nicht trennen. Verlangt man nur, daß es keine kürzere
Verbindungslinie zweier Punkte gibt als die Gerade, so ergibt sich
ebenso, daß das Grenzoval nur nirgend konkav sein darf, wohl aber
geradlinige Grenzstücke vorhanden sein können.
Alle Geometrien, in denen die Geraden die kürzesten sind, hat
Hamel*) analytisch charakterisiert.
E
=
B
Polarentheorie.
75. Satz: In einer Ebene gehen alle Lote einer (eigentlichen)
Geraden durch einen (eigentlichen oder uneigentlichen) Punkt, ihren
Lotschnittpunkt.
Beweis s. den ersten Teil des Beweises von 38, der auch gilt,
wenn der Lotschnittpunkt P uneigentlich ist.
76. Satz: In einer Ebene liegen die Lotschnittpunkte aller Ge-
raden eines (eigentlichen) Punktes auf einer (eigentlichen oder un-
eigentlichen) Geraden, seiner Fußpunktgeraden.
Beweis: Es seien (s. die erste Fig. S. 270) [04], [ОA₁], [0A,]
drei Geraden eines Punktes 0; man mache OA
mache OA OA₁ = OA₂,
*) Inaug.-Diss. Göttingen 1901 und Math. Ann. 57 (1903) p. 231.