Art. 66-68.
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B-1A-1A + BAA-1> 2 Rechte,
k
Ida die Winkelsumme des Vierecks
B-1 В A A-1 > 4 Rechte ist.
k k
Um die Voraussetzung der Meßbarkeit als notwendig zu erweisen,
betrachten wir wie in 58 eine Koordinatengeometrie in einem nicht
meßbaren Zahlensystem. Die dortigen Festsetzungen mögen auch
hier gelten, nur daß die Schiebungen durch die Transformation
z + (§ + in)
1-z = (Ě — in)
Z
=
z
eigentlich ist,
definiert sein mögen. Eine eigentliche Schiebung führt jeden eigent-
lichen in einen eigentlichen Punkt über. Denn setzt man έ+in = 5,
-in, so folgt aus -=+zz, daß, wenn z und eigentlich
z
sind, zugleich eigentlich sein muß, da für ein uneigentliches , also
auch nicht−2=(+25′ eigentlich sein könnte; und umgekehrt
folgt, wenn und eigentlich sind, daß auch
da der Nenner von der Ordnung Null ist.
Die Gültigkeit der übrigen Grundsätze der uneigentlichen Elemente
folgt wie in 58, die Gültigkeit der Verknüpfungs-, Anordnungs-,
Kongruenzsätze ohne weiteres daraus, daß diese Geometrie mit der
sphärischen Geometrie wesentlich übereinstimmt. Demnach beträgt
die Winkelsumme im Dreieck mehr als zwei Rechte, obwohl uneigent-
liche Punkte existieren.
-
=
2+5
25
67. Satz: Ist die Winkelsumme im Dreieck größer, resp. gleich,
resp. kleiner als zwei Rechte, so existieren auf jeder Geraden kein,
resp. ein, resp. mehr uneigentliche Punkte.
Beim Beweise dieses Satzes ist die Meßbarkeit eine notwendige
Voraussetzung.
Beweis folgt aus 54, 58, 59, 66.
68. Der Satz 63 von der Winkelsumme im Dreieck ist neuer-
dings fälschlich Legendre zugeschrieben worden; er findet sich aber
weder zuerst, noch überhaupt bei Legendre, sondern bei Saccheri und
Lambert*) und ist von letzterem sogar ohne Benutzung der Stetigkeit
oder der Meßbarkeit bewiesen worden. Lamberts Beweis ist im wesent-
lichen korrekt, wenn man davon absieht, daß auftretende Punkte ohne
weiteres als eigentlich angesehen werden, ein Mangel, der auch neueren
Publikationen anhaftet. Die Einfachheit der Mittel, mit denen die
älteren Mathematiker diese elementargeometrischen Fragen angriffen,
scheint heutzutage leider in Vergessenheit zu geraten. So ist der
*) Vgl. Stäckel und Engel, Die Theorie der Parallellinien (Leipzig 1895)
p. 54, 56, 57; 180, 186, 192.