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V. Metrische Geometrie.
66. Satz: Ist die Winkelsumme im Dreieck größer als zwei
Rechte, so schneiden sich je zwei Gerade einer Ebene in einem eigent-
lichen Punkte.
Für diesen Satz ist die Meßbarkeit notwendige Voraussetzung.
Beweis: Nach 38 genügt es zu zeigen (s. Fig.), daß sich in
einer Ebene zwei Lote [AA], [BB₁] einer Geraden [AB] in einem
eigentlichen Punkte schneiden. Es sei A, der Schnittpunkt des in
A auf [AB] und des in B₁
auf [BB] errichteten Lotes,
sei BB
es
B₁ B₂
usw., [A, B₂], [A,B3],
[BB₁], A2, A3,
A
A"
A
4
und
B₂ Bз
B
4,
2
—
--
A-
B₁
B₂
B
auf [AA]. Die Punkte A₁,
A2, A.,... sind eigentlich; denn
existieren überhaupt uneigent-
liche Punkte, so ist der Be-
griff „Strecke“ eindeutig bestimmt, und macht man ¸ø BA und
inzident B₁₁, so ist В₁ø>В₁₁, also, da Ã₁, eigentlich ist, und
A₁ zwischen ø und B₁ liegt, auch A, eigentlich; ebenso A2, Ag usw.
Jetzt sei [A'A₁ A″] ↓ [¸Â₁], A' auf [AB] und A″ auf [A,B₂], so
sind ebenso A', A" eigentlich.
=
―
2
Nun ist ABA, B₁ > A, B, > usw. und es ist AB-A,B,<
AB-A'B d. h. <AA', und AA"A" B₂-A, B₂ < AB₁ — A, B,.
Zeigen wir also, daß z. B. AA′ < A, A″ ist, so folgt AB A₁ B₁ <
AB₁ A, B, ebenso A, B₁ A, B, < A, B₂ — A, B, usw. Existiert
also eine ganze Zahl n so, daß
3
n (AB — A, B₁) > AB
A=A"
-
B1A-14> BAA+1
Ak
-
.
――
ist, so ist auch
--
n n
(AB — A₁ B₁) + (A₁ B₁ — ½ B¸) + ··· + (A„В„ − An+1 B₂+1) > AB,
woraus wie in 58 die Existenz eines eigentlichen Schnittpunktes folgt.
Nun ist (s. Fig.) in der Tat AA′ < A„A”, denn nach 69 liegt
in dem Dreieck A'AA₂ dem
größeren Winkel A'AA,>
A'‚à die größere Seite
A'AAA' gegenüber.
Zwischen diesen Winkeln
A Ą
findet aber die behauptete Größenordnung (s. die erste Fig.) BAA₁
> В₁₁₂ und allgemein
statt; denn es ist