Art. 63-65. 259 1 also notwendig die Seite A, C, selbst, also zwischen A, und C₁, d. h. in einem eigentlichen Punkte trifft. Nunmehr ist auch P₁ = · ([M₁B′][N₁C']) eigentlich, weil A' zwischen B' und C₁ liegt und die Transversale [A'N₁] die Seite C₁ M₁ des Dreiecks C₁ M₁ B' nicht trifft, also die Seite B'M₁ zwischen B' und M₁ treffen muß. Es sei [P₁P][AC], also P zwischen M und C, PM = MQ, PN NR, [92] L [AC], [RR₁] [AC]. Dann ist BBQQ, MM₁~CB' PP₁MM₁, also QQ₁ = PP₁, und ebenso AA, RR, NN CAPP₁ NN₁, 1 ᎡᎡ - also RR₁ = PP₁. Ist noch RS SQ, [SS] [AC], so ist wegen RRQQ auch RR, SS~QQ₁SS₁, also RSS₁ = QSS, ein Rechter und RS₁SQ, S, Sein Rechter. Da nun B und C, also M und N, also Q und R, also S alle auf derselben Seite von A liegen, so ist SA, also AASS ein Rechteck, woraus (53) für das Dreieck ASA₁, also für jedes die Winkelsumme gleich zwei Rechten folgen würde. Dem- nach folgt aus BB₁ AА₁ stets CC₁ > AA₁ folgt. Daß aber aus BB₁ stets CC₁ =AA, folgt, geht schon aus 53 hervor. AA₁ < Zusatz: Aus BB₁< resp. > CC₁ und AC>AB folgt A A₁ resp. > BB₁. Beweis ebenso. 64. Definition: In einer Ebene heißt die Menge der Punkte P, für welche OP einer gegebenen Strecke gleich ist, „Kreis" um den „Mittelpunkt" O mit dem „Radius“ OP. Sind OP 0Q zwei nicht inzidente Radien einer Geraden, so heißt PQ ein Durchmesser, [PQ] eine Zentrale des Kreises. Ist R ein. Punkt des Kreises, PQ ein Durchmesser, so heißt der Winkel PRQ des Dreiecks mit der Seite PQ ein Winkel im Halbkreise. 65. Satz: Je nachdem die Winkel- summe im Dreieck kleiner, gleich oder P größer als zwei Rechte ist, ist der Winkel im Halbkreis kleiner, gleich oder größer als ein Rechter.*) Beweis: (s. Fig.) Aus QORROQ, POR ROP folgt 2 PRQ=PRQ+PRO+ORQ=RPO+RQO+PRQ also PRQ 1 Rechter. *) Saccheri, Euclides ab omni naevo vindicatus (Mailand 1733). Theorema XVIII Engel-Stäckel, Theorie der Parallellinien (Leipzig 1895) p. 72. Euklidische Fall dieses Satzes ist der Satz des Thales. Der 1 = ― = 2 Rechte, 12 17*