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V. Metrische Geometrie.
Ist zweitens (s. Fig.) BC=AD' > AD, so ist ebenso AD'C-BCD,
<1 Rechter, also D'DC <1 Rechter, also ADC> 1 Rechter. Also
folgt drittens aus BC AD, daß ADC ein
Rechter sein muß und alle drei Sätze um-
gekehrt gelten.
A
B
C
Beweis: Mit Rücksicht auf 61 hat man nur
zu beweisen, daß in zwei ebenen Vierecken
ABВ₁₁, ACC, A, mit je drei rechten Winkeln A, B, A₁ und A,
C, A, die vierten Winkel B₁, C₂ (s. Fig.) stets zugleich größer, gleich
oder kleiner als ein
Rechter sind. Ist
C2
A
A,
A
DD'
63. Satz: Je nachdem, ob in einem Drei-
eck die Winkelsumme größer, gleich oder kleiner
als zwei Rechte ist, ist dasselbe in jedem Drei-
eck der Fall.
B
N
C
C
B
derlich zu zeigen, daß z. B. nicht BB₁ < AA₁ < CC₁ sein kann.
Daher können AB, AC inzident, also A nicht zwischen B, C an-
genommen werden. Außerdem möge B zwischen A und C liegen.
C₁ = ([A₁ B₁][CC₂]),
so genügt es zu zeigen,
daß ABB und A₁ C₁C
stets zugleich größer,
gleich oder kleiner als
ein Rechter sind, da
dann dasselbe für A₁ C₁ C
und A2 C2C folgt. Dazu
ist nach 62 nur erfor-
12
1
Man mache zum Zweck des Beweises (s. Fig.) CM = MB, CN=
NA‚”CA' = A A₁, CB'=¿¡BB₁, MM₁LAC, NN, LAC, so sind die
Punkte M, N, (ebenso
A, R,
N B₁ Q, M
A später Q1, R₁, S₁) eigent-
B'lich und in bezug auf
ABC₁ so geordnet, wie
C
die entsprechenden
Punkte M, N, ... in be-
zug auf ABC, da z. B.
NN, (wegen 52) nicht
die Seite CC, des Dreiecks
also in einem eigentlichen
A R
BQ MP C
ACC₁, also notwendig die Seite AC, selbst,
Punkte und dann in dem Dreieck AA, C₁ (wegen 60) nicht die Seite A A₁,
P