Art. 59-62.
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macht. Alsdann ist also auch der Winkel AB, C, ein Rechter, also die
Winkelsumme um den Winkel BAC, größer als zwei Rechte.
2
60. Wir können nunmehr den Fall ausschließen, daß sich zwei
Lote einer Geraden, die in einer Ebene liegen, in einem eigentlichen
Punkte treffen, da sonst (38) keine uneigentlichen Punkte existieren,
also (59) die Winkelsumme in jedem Dreieck größer als zwei Rechte
ist. Wir können also annehmen, daß in jedem Dreieck höchstens ein
A
B
Winkel nicht kleiner als ein Rechter ist. Denn wären etwa (s. Fig.) in
ABC jeder der Winkel bei A und B nicht kleiner als ein Rechter,
und BAD ein Rechter, ABE ein Rechter, so wäre D nicht außerhalb
B, C, also eigentlich, und E nicht außerhalb A, D, also eigentlich.
Demnach hätten zwei Lote [DA], [DB] einer Geraden einen eigentlichen
Schnittpunkt D, also (38) existierten keine uneigentlichen Punkte.
61. Satz: Existiert ein Dreieck, in welchem die Winkelsumme
kleiner, resp. gleich, resp. größer als zwei Rechte ist, so existiert ein
ebenes Viereck mit drei rechten Winkeln, in dem der vierte Winkel
kleiner, resp. gleich, resp. größer als ein Rechter ist.
-
D
1
1
19
Beweis: (s. die erste Fig. zu 59.) Ist BO=0C, B₁ 0₁ = 0₁ С₁, so
ist BB₁0~CC₁₁, also BO₁=CO₁, also B00₁~COO₁, also B00₁
ein Rechter. Ferner ist BBC CCB₁, also BC₁ = CB₁, also
BBC ~ CCB, also BBOCCO, also B BO~ CCO, also
B₁0 C, O, also B, 00, C, 001, also B, 0, 0 ein Rechter. Ferner
fand sich die Winkelsumme des Dreiecks ABC gleich BBO + C₁CO
2
~
1
1
D'D
C
2 B₁BO; also ist B₁BO <, resp. =, resp. > A
ein Rechter, also BB, 0,0 ein Viereck der ver-
langten Beschaffenheit.
62. Satz: Je nachdem, ob in einem ebenen
Viereck ABCD mit drei rechten Winkeln A,
B, C der vierte Winkel D kleiner, gleich oder
größer als ein Rechter ist, ist AD größer, gleich
oder kleiner als BC, und ebenso CD größer,
gleich oder kleiner als AB.
B
Beweis: Ist erstens (s. Fig.) BC = AD' < AD, so ist ABC
~BAD, also AC = BD', also AD'C~ BCD', also AD'C=BCD'
<1 Rechter, also DD'C>1 Rechter, also (wegen 60) ADC<1 Rechter.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
17
C