Art. 58.
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Dann liegen auf jeder Geraden [2,2] uneigentliche Punkte. Denn ist
21 von der Ordnung n₁, 22 von der Ordnung non, so ist z. B.
(1 t−12) 21 + t−22₂ ein uneigentlicher Punkt von [122]. Auf jeder
eigentlichen Geraden liegen mehrere eigentliche Punkte; denn sind z₁
und % eigentlich, n > 0, so ist z. B. (1 − t) %1+%₂ ein eigent-
licher Punkt der Geraden [12].
[222] so: es
X1
=
Jetzt ordne man die Punkte ₁, 22 einer Geraden
heiße ₁ vor 2, wenn entweder x - x₁>0 oder x2 = 0 und
Y2 - Y10 ist. Sind jetzt 21, 2₂ eigentliche Punkte, z, z" uneigent-
liche Punkte der Geraden [12], so sind -₁ und -, gleich-
zeitig oder <0, und 2″ — 21, 2" - z gleichzeitig oder <0, also
>
21, 2, durch z', z" niemals getrennt.
z
z
Figuren heißen kongruent, wenn sie durch „Schiebung"
≈ = 2 + (§ + in)
und durch „Drehung"
a + ib
Va²+b²
ineinander übergehen, wo έ, n, a, b Zahlen des Systems sind. Eine
„eigentliche" Schiebung sei eine solche, welche wenigstens einen
eigentlichen Punkt in einen eigentlichen Punkt überführt. Eine
eigentliche Schiebung führt dann jeden eigentlichen Punkt in einen
eigentlichen Punkt über; denn ist z₁ und ₁ = %₁ + (§ + in) eigentlich,
so ist auch in = 7₁ — z₁ eigentlich, also auch ≈2 = ≈2 + (§ + in)
+
eigentlich, wenn eigentlich ist. Durch eine Drehung geht jeder
eigentliche Punkt in einen eigentlichen über, da
stets von
der Ordnung 0 ist.
z₂
a + ib
Va² + b²
Demnach sind alle Grundsätze der uneigentlichen Elemente er-
füllt. Das Bestehen der Verknüpfungs-, Anordnungs- und Kongruenz-
sätze folgt z. B. ohne weiteres daraus, daß diese Geometrie mit der
gewöhnlichen Koordinatengeometrie der Euklidischen Ebene wesent-
lich übereinstimmt. Aber der Euklidische Grundsatz: zwei nicht
parallele Gerade einer Ebene schneiden sich, gilt nicht, da man ja
jeden beliebigen uneigentlichen Punkt z mit zwei eigentlichen Z1, Z2
durch zwei eigentliche Gerade [201], [202] verbinden kann, die sich
also in dem uneigentlichen Punkte zo schneiden, ohne parallel zu sein;
denn durch keine eigentliche Schiebung + gehen die eigent-
lichen Punkte von [221] in die eigentlichen Punkte von [2] über,
da aus 20+ 2₁ (~₁ − 20) + 5 = 20 + λ₂ (≈1—20) stets
21 (≈1
z
―――
Z
=
2
=
-
=
-
§ — λ2 (≈2 — ≈0) — λ1 (≈1 — 20),
also im allgemeinen uneigentlich folgt.
-