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V. Metrische Geometrie.
A' BB',
2
2
BA', also A₁A' B
ein Rechteck; dann
auch [AB₁]|[A,B,]
‚Ã′ = ВB'‚ ‚Ã′ ~ BAB′, also A, B'
~BB'B, also A, B A B₁, also A, A, B, B₁
folgt aus [AB]|[AB] und [A,B,]|[AB], daß
ist. Die Parallelen [AD], [BE] (s. Fig. zu 53) bilden mit [DE]
die gleichen Winkel ADE und DEB, wie in 53 bewiesen. Man
fälle von P ein Lot [PQ] auf & und errichte in P ein Lot 5 auf [PQ]
in {P}; dann ist offenbar die einzige Parallele durch P zu G.
58. Satz: Ist die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten,
so schneiden sich je zwei nicht parallele Geraden einer Ebene in einem
eigentlichen Punkte.
li
-
B
Beim Beweise dieses Satzes ist die Meßbarkeit eine notwendige
Voraussetzung.
A
a
=
Beweis: Es sei (s. Fig.) a +ẞ<2 Rechte, a+B+7=2 Rechte,
also (nach 57) [AA′]|[BB']; ferner sei [AB]||[A'B'], und n eine ganze
Zahl, für welche n A'C' > AB ist. Ferner sei AA₁ nAA',
•
A'
A,
X
=
B'
-
B₁
=
C
•
[A₁C₁]|[AB], A, C, n A'C'. Dann folgt aus kongruenten Dreiecken
A₁AC₁ = 7. Nun ist AAC₁> A₁AB₁ und BAC₁<BAB₁, d. h. die
Geraden [AC₁], [AA'] sind getrennt durch [AB], [AB₁]; dasselbe
gilt also für ihre Schnittpunkte mit [BB₁], also ist ([AC₁][BB₁]) von
dem uneigentlichen Punkte ([44][BB]) getrennt durch die beiden
eigentlichen Punkte BB₁, ist also eigentlich.
Um die Voraussetzung der Meßbarkeit als hierbei notwendig zu
erweisen, braucht man nur eine geeignete Koordinatengeometrie in
einem nicht meßbaren Zahlensystem heranzuziehen. Wir nehmen
die Zahlen von der Form A = ar² + α₁t² + Aq t^2 +···, woa, a₁,
a21 ...9
und n <n<n< beliebige reelle Zahlen sind, und
A > B heißt, wenn A-B>0 ist, und A>0 heißt, wenn a>0
ist; n heiße die Ordnung der Zahl und Zahlen einer positiven Ordnung
heißen eigentlich, die andern uneigentlich. Sind x, y Zahlen dieses
Systems, so heiße x + iyz ein „Punkt“. Sind 21, 22 zwei ver-
schiedene Punkte, so heißen die in λ₁₁ + λ≈½ für reelle ¼₁, λ, und
2₁+2= 1 enthaltenen Punkte „Gerade" [12].
21
heißt „eigentlich", wenn x und y eigentlich sind.
eigentlich, wenn sie wenigstens einen eigentlichen Punkt enthält.
Ein Punkt x + iy
Eine Gerade heißt