Art. 51-57.
253
ABBA, AG EB), ADE GFB (AD GF, AE = GB,
ED = BF), also HDE AFB (HD = AF, ED = BF, [ HDE
HE AB,
H
A
G
D
= L AFB), also
LAHE L HEB 1 Rechten,
AHE ABE, also die Winkel-
summe in ABE: 2 Rechten.
=
=
=
=
~
54. Satz: In der Euklidischen
Geometrie, wo auf jeder Geraden
genau ein uneigentlicher Punkt
liegt, beträgt die Winkelsumme im
Dreieck zwei Rechte.
E
-
B
с
D
E
Beweis: Ist (s. Fig.) [CB]1[AB], [DA]L[AB], so schneidet
(wegen 38) [DA] die Gerade [BC] in dem uneigentlichen Punkte von
[BC]. Ist noch [CD] [BC], [DE] L [CD], so A
muß auch [DE] durch den uneigentlichen Punkt
von [BC] gehen, also mit [AD] übereinstimmen,
also ist ADC ein Rechter, also (s. 53) die Win-
kelsumme des Dreiecks ABC, also jedes Dreiecks
gleich zwei Rechten.
55. Definition: Die Menge der Endpunkte
gleich langer Lote einer Geraden und in einer Ebene
der Geraden heißt eine Abstandskurve der Geraden.
F
B
56. Satz: Beträgt die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte,
so ist jede Abstandskurve einer Geraden & eine Gerade H, und eine
Abstandskurve von H ist G.
Beweis: (s. Fig. zu 53). Es ergab sich AB CD EH senk-
recht [BC] und [AD] und A, D, H in einer Geraden, B, C, E in
einer Geraden.
1
=
57. Satz: Beträgt die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte
und nennt man zwei Gerade, von denen jede eine Abstandskurve der
andern ist, parallel, dann gelten die Sätze: sind zwei Gerade einer
dritten parallel, dann sind sie einander parallel; parallele Gerade
bilden mit jeder sie schneidenden Geraden gleiche Winkel; durch
jeden Punkt P gibt es zu jeder Geraden & genau eine Parallele.
2
Beweis: Sind in einer Ebene A₁A=B₁В auf [AB] senkrecht und
in derselben oder einer andern Ebene A,A=BB auf [AB] senkrecht,
ist aber dabei ([A₁B₁][AB]), ([A,B₂][AB]) nicht der Mittelpunkt
von AB, so ist AД₁₂~BB₁½‚ ÃВ~BBA, also А₁ Α = B₁B2,
AB₁ = BA₁, ebenso AB - BA. Ferner sei [44] 1 [ÃÄ], A′ auf
[AA], BB′ = AA', B' auf [BB], also AA, A'~ BBB', und
[¸Ã'] ↓ {ABA}, also [A'B], ebenso [BB′] [B'Ã₂], und
2
2
=
1