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V. Metrische Geometrie
51. Satz: Schneiden sich die Geraden [ABC] =& und [A'B'C']=6',
so liegen
([AB'][A′B]), ([AC′][AC]), ([BC′][B′C])
auf einer Geraden.
=
=
h
Beweis: Ist (66) O, OP=OP', P auf &, P' auf &', M
Mittelpunkt von PP', und geht durch [OM] und ist senkrecht
{GG'}, so sind & und G′ Spiegelbilder in bezug auf 2. Es sei ½ in
, nicht senkrecht {GG'}, = {HA}, Σ= {HB}, Σ, : = {{C},
Σ' = {HA'}, Σ;' = {{B'}, Σ;' = {HC'}, ferner seien G, G, Spiegel-
bilder in bezug auf 2, und G', & Spiegelbilder in bezug auf Σ,
also (GG₁') = A, (GG,')=B, (GG,')=С, (G′G₁) = A′, (G'G₂) = B',
G'G)=C'. Die Spiegelungen an E, E, E setzen sich (50) zu einer
zusammen, in welcher G, und & Spiegelbilder sind, sich also schneiden.
Damit ist nach den Bemerkungen in 49 der Beweis vollendet.
h
k
Die Winkelsumme im Dreieck.
A
E
52. Satz: Ist in einem Dreieck ABC die Winkelsumme gleich
2 Rechten, dann zerfällt es durch eine „Höhe“ [AD][BC] in zwei recht-
winklige Dreiecke mit der-
selben Eigenschaft (s. Fig.).
Beweis: Man mache
LEAB-B, LFAC=7,
EA-DB, FA-DC; so
ist EAB DBA, FAC~
DCA, also LFCA=DAC,
B FAE-2 Rechten, FE=
FA+AE-CD+DB=
β
F
с
D
CB, FC=AD=EB, also weiter FEB~FCB, LFCB=1 Rechten,
also in ACD: Winkelsumme = 2 Rechten, ebenso in ABD.
A
B
E
53. Satz: Ist in einem Dreieck die Winkel-
summe gleich zwei Rechten, dann in jedem.
Beweis: Es genügt nach 52, diesen Satz
für rechtwinklige Dreiecke ABC und A₁BE zu
beweisen (s. Fig.). Ist in ABC die Winkelsumme
2 Rechte, so wird bewiesen, das dasselbe für ABE,
also ebenso für A, BE stattfindet. Es sei nun-
mehr (s. Fig. S. 253) ABC~CDA, also ABCD
ein Rechteck", und es sei AH= BEDF
-
=
AG, so ist EDB~ DBF (L D = LB, BD
DB, DF = BE), ABE~ AGB (LA=LB,