Art. 47-50.
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3
2 3
2
2
unebenen Geradenquadrupel 6', G1, G2', G,' 15 vorhanden sind,
existiert auch der sechzehnte. Es kommt daher nur darauf an,
gerade Linien G1, G2, G3, G1, G2', 6' durch resp. A, B, C, A', B′,
C' so zu legen, daß die Geraden GGGG, alle Geraden G'G₁'G₂´G;'
treffen, aber GGGG, nicht einander und auch G'G'G'G' nicht
einander schneiden. Hierzu führen wir den Begriff der Spiegelung an
einer Ebene ein: Zwei Punkte P, P' heißen Spiegelbilder in be-
zug auf, wenn die Strecke PP' durchsenkrecht halbiert wird.
Die Definition ist mit Rücksicht auf 27 nicht zweideutig. Zwei Ge-
rade heißen Spiegelbilder von einander, wenn die Punkte der einen
die Spiegelbilder der Punkte der andern sind; sie schneiden sich also
auf der Spiegelebene . Dann gilt der Satz:
50. Satz: Schneiden sich drei Ebenen Z1, Z2, Z3 in einer Ge-
raden G, so setzen sich die drei Spiegelungen an ihnen zu einer
einzigen an einer Ebene von zusammen, so daß der Winkel
ΣιΣ dem Winkel ΣΣ, gleich ist.
2
3
6₁₂
27
Beweis: Sind Pund P, Spiegelbilder in bezug auf Σ₁, P₁und P₂ in be-
zug auf Σ, P, und P, in bezug auf Σ, so liegen (wie auf Grund von
30 zu beweisen ist) Pl, P₁,
Pa, P in einer zu senk-
rechten Ebene E. Ist [E]=,
[ΕΣ] = &1, [ΕΣ] = 6%,
[E] S, (EG) = G,
=
([PP])=Q, so ist (s. Fig.)
LPGS =
PG P₁+ P₁G P½ + P½GS
1
2
=25₁GS₂+ P₂GS
2
-
=2SGS + P₂GS
3
2
-
G
GP GP GP2
=
PRA
L
OF THE
UNIVERS
OF
=
P
P
བས
= SGS, P₂ GS3
3
2
= P3G S3+S3G S = P3GS,
und
was zu beweisen war.
Zusatz: Die Mittellote der drei Seiten eines Dreiecks gehen durch
einen Punkt. Denn legt man S, durch P₂, so wird P₂
Mittellot von PP₂.
P und S
52
GP₂ = GP3, also PGQ~ P¸G Q,
3
=
19*
કા
Mit Rücksicht auf (39 ff.) gelten diese Sätze auch, wenn G ein
uneigentlicher Punkt ist.
Nunmehr beweist man leicht den Pascalschen Satz: