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V. Metrische Geometrie.
B
-
A'C'B', CA C'A', CB= C'B', so sei L CAB = C'A' Bº, AB=
A'Bº, also (41), wegen AC A'C', auch LCBA = C'B'A'. Dann
müßte (43) LACB= A'C' Bº, also (44) Bº auf [C'B'] und C' B。=CB
=C'B', also (45) Bº= B', also [C'A'B' CAB sein; was zu beweisen war.
47. Um von einem uneigentlichen Punkte C auf eine eigentliche
Gerade [AB] ein Lot zu fällen, verbinde man C mit dem Schnitt-
punkt zweier Lote von [AB] in {ABC}
(vgl. 38).
C
48. Um einen uneigentlichen´ Winkel
ACB zu halbieren, halbiere man (s. Fig.) LABC
durch MB, CAB durch MA; ziehe [MC₁]
[AB], C₁ auf [A B], mache BC₁=BА₁, Д₁ auf
BC], AÑ₁=AB₁, В₁ auf AC], und halbiere
LA, MB, durch MC°. Dann ist MC° die Winkel-
halbierende von ACB. Denn es ist MBC,
~MBA₁, MAC₁~MAB₁, also MA₁ = MB₁,
CAM CB, M; also
M([MC][AC]) = M(MC°][BC]),
=
A
=
C
B
A
=
=
-
d. h. (42) [MC。] geht durch C, und es ist
(nach 43) L MCA₁ = MCB₁.
Die Schließungssätze.
49. Für den ebenen Desarguesschen Satz ist ein Beweis auf
Grund der Kongruenzsätze allein ohne Annahme der räumlichen Ver-
knüpfungssätze bisher nicht gegeben worden.*) Dagegen kann man
unter Voraussetzung des Desarguesschen Satzes und der Kongruenz-
axiome den Pascalschen Satz beweisen.**) Unter Voraussetzung des
Desarguesschen Satzes ist die ebene Geometrie Schnitt einer räum-
lichen; man kann daher ohne weiteres in der räumlichen operieren.
Alsdann ist (s. II 60 S. 68) der Pascalsche Satz, daß ([AB'][BA']),
([AC'][CA′]), ([BC′][CB′]) auf einer Geraden liegen, wenn A, B, C
auf einer Geraden & und A', B', C' auf einer Geraden &' und G, G' in
einer Ebene liegen, gleichwertig dem Satze: wenn von den 16 Schnitt-
punkten eines unebenen Geradenquadrupels 6, 61, 62, 6, mit einem
3
*) Für den Fall, daß auf jeder Geraden mehr als ein uneigentlicher
Punkt liegt, geht die Möglichkeit eines solchen Beweises hervor aus Hilbert,
Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. Math. Ann. 57
(1903) p. 137 = Grundlagen der Geometrie 2. Aufl. (Leipzig 1903) p. 107 Anhang III.
**) Vgl. Schur, Math Ann. 51 (1899) p. 401. .