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V. Metrische Geometrie.
E'E' EE₁,
P' P
PP₁, und zwar, nachdem von den beiden
2
für D' möglichen Punkten der eine gewählt ist, werde z. B. E' so
gewählt, daß ABC({ABC}[DE]) ~ A'B'C' ({ A'B'C'}[D′E′]) ist,
was wegen 34 nur auf eine Weise möglich ist. Dann ist z. B.
LA' D'D' AD, D
also
einem Rechten, also A'D'D' AиÐ,
1
A'D' AD; ebenso A'E' AE usw.; ferner D'ED₁E₁, [D'D₁'E'
=DDE₁ = einem Rechten, E'E'D₁' = EE₁ D₁ = einem Rechten, also
L
D'D'EE DD,E,E, also D'E' = DE usw., also
1
=
1
A'B'C' D'... P'~ ABCD... P.
=
=
=
B
...
A
Uneigentliche Elemente.
36. Grundsatz: Ist AB CD, und sind A, B, C eigentliche
Punkte, so ist auch D eigentlich.
Dieser „metrische Grundsatz der uneigentlichen Elemente" wird
wie die früher aufgestellten Verknüpfungs- und Anordnungsgrundsätze
der uneigentlichen Elemente unmittelbar der Erfahrung entnommen.
Auf Grund dieser Sätze können wir nunmehr den Satz beweisen:
=
/
37. Satz: Je nachdem ob auf einer (eigentlichen) Geraden kein,
oder ein, oder mehr uneigentliche Punkte liegen, ist dasselbe bei jeder
Geraden der Fall.
-
Beweis: Man kann jedem uneigentlichen Punkt einer Geraden
G, definiert durch die Geraden G, H, einen uneigentlichen Punkt
einer andern Geraden ₁, definiert
durch die Geraden G₁, H₁, eindeutig
zuordnen (s. Fig.).
A
B
$
&₁
Zu dem Zwecke verbinde man A
(auf 6) mit B (auf 5), trage den
Winkel der Geraden G, [AB] an G₁
in A an, mache den andern Schenkel
A₁В₁ = AB, und trage den Winkel
ᎪᏴ
der Geraden [BA], § an [B, A₁] ent-
sprechend in B₁ an. Ist der andere
Schenkel ₁, so wird durch ein un-
eigentlicher Punkt C₁ =(G₁, ₁) auf G₁
definiert. Denn wäre er eigentlich und
$
1
=
1
B,
AC-A, C, C auf 6, eigentlich, so
wäre ABC ABC₁, also CBA = [ С₁ В₁₁
[ С₁ В₁ А₁ = L (§₁, [В₁ A₁])
L(§,[BA]), also [BC]=§, d. h. & und § hätten den eigentlichen Schnitt-
punkt C. Einem andern uneigentlichen Punkt auf &, definiert durch H',
wird, von denselben Punkten A, A, ausgehend, ein anderer uneigent-
=
T