Art. 27-35.
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Beweis: Es sei
([AB]E) = 0, ([AB] E') = 0', [EA] = [04], [EB] = [OB],
M der Mittelpunkt von 00', von AA', von BB'; so folgt MAB~
MA'B', MOA~ MO'A', MOB~ MO'B', also AB = A'B', OA =
O'A', OB O'B', also OAB~ O'A'B', also LAOB = A'O'B'.
32. Definition: Zwei gerade, ebene oder räumliche Figuren
ABC... P, A'B'C'... P' heißen kongruent, wenn alle,homologen"
Seiten AB, A'B' usw. (also auch Winkel) gleich sind. Entsprechend
für Figuren im Büschel oder Bündel.
=
33. Satz: Ist A' auf G' gegeben, so gibt es zu jeder geraden
Figur ABC…….. P, genau zwei kongruente Figuren A'B'C' . . . P' auf
der Geraden G'.
···9
Beweis: Sei A'B' = AB, B' auf G'. Sei dann A'C' AC und
A'C', A'B' inzident oder nicht, je nachdem AC, AB inzident sind
oder nicht. Dann ist auch B'C' BC.
BC. Werde ebenso D' usw. be-
stimmt, dann ist auch z. B.
C'D' (A'C' ± A' D') = ± (AC+ AD) = CD,
=
±
...9
usw. also A'B'C' . . . P' ~ ABC...P. Nur der Punkt B′ ergibt
sich zweideutig; dann alle übrigen eindeutig.
34. Satz: Ist A'B' = AB gegeben, so gibt es zu jeder ebenen
Figur ABC...P genau zwei kongruente Figuren A'B'C'... P' in
jeder Ebene E' von [A'B'].
...9
=
Beweis: Seien [CC₁], [DD₁], [PP₁]+[AB], und C₁, D₁,
P₁ auf [AB] (es kann z. B. auch C₁ C sein), und sei
A'B'C' D PABCD... P₁;
...
=
=
==
1
ferner sei in E': [C'C₁'], [D' D₁'], . . . [P'P₁'][A'B′] und C'C₁ = CC₁,
D'D₁'=DD₁,..., P'P PP₁, und zwar, nachdem von den beiden
für C′ möglichen Punkten der eine gewählt ist, werde z. B. D' so ge-
wählt, daß A'B' ([C′D′][A′B′]) ~ AB ([CD][AB]) ist, was wegen
33 nur auf eine Weise möglich ist. Dann ist auch BAC B'A'C',
LBAD = B'A' D', also CAD = C'A'D', also CAD~ C'A'D', also
CD=C'D', usw. also A'B'C'... P'~ ABC... P.
=
35. Satz: Ist A'B'C' ~ ABC gegeben, so gibt es zu jeder räum-
lichen Figur ABC...P genau zwei kongruente Figuren A'B'C'...P'.
Beweis: Seien [DD₁], [EE], [PP₁]1 {ABC}, und D₁,
P₁ in (ABC), (es kann z. B. auch D₁ = D sein), und sei
...9
-
E₁,
A'B'C'DE... P₁ ~ ABCD₁₁ . . . P₁;
ferner sei [D' D'], [E' E'], . . . [P' P₁'] {A'B'C'} und D'D₁' = DD₁,
↓
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