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V. Metrische Geometrie.
27. Satz: Jeder Winkel AOB hat genau eine Mittelgerade
(Halbgerade) OM], so daß AOM MOB ist.
Beweis: Sind 0A OB gleiche Strecken auf den Schenkeln
des Winkels, M der Mittelpunkt von AB, so ist LOAB=0BA, also
OAM OBM, also LAOM- BOM, und OM] eindeutig bestimmt;
denn wäre auch LAOM' - BOM', M' auf [AB], dann wäre AOM'
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BOM', also AM' = BM', also (24) M' = M.
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28. Satz: Ist [OB] [OP][OA] und liegen OABC in einer
Ebene, dann ist auch [OP][OC]; und umgekehrt: ist auch [0P]+
[OC], dann sind OABC in einer Ebene.
Beweis: Man kann A, B, C in einer Geraden annehmen. Macht man
PO = OP', nicht inzident, auf einer Geraden, so ist OPA~ OP′A,
also PA=P'A, ebenso PB=P'B, also (22) PAB~P'AB, [PAB=
P'AB, also (13) PAC~ P'AC, also PC= P'C, also (22) POC≈ P′OC,
also L POC-P'OC= einem Rechten. Umgekehrt, ist E={0AB},
G=[{OAB} {OPC)], so ist nach obigem &[OP] und nach Vor-
aussetzung [OC][OP], also (20) &=[OC], d. h. [OC] in {OAB}.
29. Definition: Eine Gerade [OP] heißt senkrecht auf einer
Ebene E = {OAB), wenn [OA] [OP] [OB] ist.
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30. Satz: Durch jeden Punkt auf einer gegebenen Geraden resp.
Ebene geht genau eine, durch jeden anderen Punkt mindestens eine
zu der gegebenen Geraden oder Ebene senkrechte Ebene resp. Gerade.
Beweis: Durch O auf & sei [OP] & und in einer anderen
Ebene [00] L ; dann ist {OPQ) G. Gibt es durch O eine
zweite Ebene E¦ G, und schneidet irgend eine Ebene ▲ von G die
Ebenen {OPQ) und E in H, H', so ist HGH', also (20) H=H',
also E (OPQ}. - Auf [OA] errichte man in O senkrecht die Ebene
A, auf [OB] in O senkrecht die Ebene B, dann ist &=[AB]{OAB}
in O. Gäbe es in O auf {OAB} eine zweite senkrechte H, dann wäre
in {H} sowohl als senkrecht auf [{G}{OAB}], also (20)
G = H.
- Von P, nicht auf G, ziehe man [PO] &, durch O auf &
lege man EL G; E geht durch P, wegen 28. Durch P nicht in
{ABC) lege man [PQ] [AB]; durch Q auf [AB] ziehe man in
(ABC) das Lot [OQ][AB], von P fälle man das Lot [PO] auf
[OQ], dann ist [PO] {ABC}; denn sei O Mittelpunkt von PP', also
OPQOPQ, also PQ-P'Q, LAQP'= AQP-AQ0-1 Rechter,
also AQP AQP', BQP BQP', also APAP', BP BP',
also AOP AOP', BOPBOP', also AOP und BOP Rechte.
31. Satz: Sind A, B zwei Ebenen einer Geraden [AB], und
EL [AB] E', so sind die Winkel der Geraden [EA], [EB] und der
Geraden [EA], [E'B] einander gleich.
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