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V. Metrische Geometrie.
10. Definition: Es gibt im allgemeinen, nämlich wenn un-
eigentliche Punkte nicht vorhanden sind, acht Dreiecke ABC, da
jede der drei Seiten AB, AC, BC zweideutig bestimmt sind. Nachdem
die Seiten (nach 2) eindeutig fixiert sind, sind auch die Halbgeraden
AB], BA] usw. bestimmt; aber die Winkel BCA usw. sind als
Winkel zweier bestimmter Halbgeraden CA], CB] immer noch zwei-
deutig. Dieselben sollen nun (nach 7) eindeutig fixiert werden, und
zwar nach Fixierung der Seiten derart, daß wenn z. B. für die Seite
AB die kleinere der beiden Strecken AB gewählt wurde, daß dann
für den Winkel ACB der kleinere der beiden Winkel ACB gewählt
werden soll. Sind uneigentliche Punkte vorhanden, also die Strecken
AB, AC, BC eindeutig bestimmt, so sollen als Winkel ACB, usw. die
kleineren gewählt werden, die also kleiner als gestreckte sind.
11. Grundsatz: Ist AB-A'B', AC=A'C', LBAC = B'A'C',
so ist auch ABC A'B'C', also auch L ACBA'C'B'.
L
Dieser Grundsatz ist unabhängig von allen vorhergehenden. Um
dies nachzuweisen, betrachte man eine Euklidische Ebene E und pro-
jiziere ihre Punkte und Geraden senkrecht auf eine dazu geneigte
Ebene E'. Man betrachte zwei Strecken der Ebene E als gleich, wenn
sie es im gewöhnlichen Sinne des Wortes sind, aber zwei Winkel
als gleich, wenn ihre Projektionen in E' im gewöhnlichen Sinne des
Wortes gleich sind. Dann gelten offenbar alle aufgestellten Grund-
sätze, aber nicht 11.
Dieselbe Überlegung läßt sich in analytischer Form machen und
dann auf den Raum ausdehnen: Man lege für die Vergleichung der
Strecken ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde, für die
Vergleichung der Winkel ein schiefwinkliges, in dem man aber die
Formeln für rechtwinklige Koordinaten anwendet.
(Vgl. auch die in 61 betrachteten Geometrien.)
12. Definition: Zwei Dreiecke ABC und A'B'C' heißen kon-
gruent (~), wenn AB= A'B', AC=A'C', BC=B'C', LABC=A'B'C',
LBCA B'C'A', L CAB = C'A'B' ist.*)
13. Satz: Ist AB= A'B', AC=A'C', [ BAC = B'A'C', so ist
BAC B'A' C'.
=
=
Beweis: Nach 11 ist nur noch BC B'C' nachzuweisen. Sei
B'D'=BC, und inzident B'C'. Dann ist (11) LB'A' C'=BAC=B'A'D',
also (8) [A'C'] = [A' D'], C′ = D'.
14. Satz: Ist AB
A'B', LCAB = C'A'B', LCBA = C'B'A',
so ist ABC~ A'B'C'.
=
*) Man kann auch die Theorie der Kongruenz ohne Benutzung der Winkel-
gleichheit begründen; vgl. Mollerup, Math. Ann. 58 (1904) S. 479.