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Die Kongruenzsätze.
1. Im folgenden werden die Verknüpfungssätze und die Sätze
der reinen Anordnung vorausgesetzt. Die Existenz oder Nichtexistenz
uneigentlicher Elemente bleibt dahingestellt. Existieren uneigentliche
Elemente, so werden auch deren Verknüpfungs- und reine Anord-
nungssätze angenommen.
2. Definition: Durch zwei Punkte A, B einer Geraden werden
alle Punkte derselben in zwei Klassen geteilt, so daß je zwei Punkte
einer Klasse durch A, B nicht getrennt sind. Die Gesamtheit der
Punkte einer der beiden Klassen wird daher durch Angabe eines
ihrer Punkte eindeutig bezeichnet. Jede der beiden Klassen heißt
Strecke AB=BA, wobei vorausgesetzt wird, daß dieser zweideutige
Ausdruck in jedem einzelnen Falle durch Angabe eines Punktes der
Klasse eindeutig fixiert wird. A und B heißen die Endpunkte der
Strecke AB. Zwei Strecken AB, AC einer Geraden heißen inzident,
wenn entweder B ein Punkt von AC oder C ein Punkt von AB ist.
Im ersten Fall heißt jede der Strecke AB gleiche Strecke kleiner als
jede der Strecke AC gleiche Strecke; im zweiten Fall heißt jede der
Strecke AB gleiche Strecke größer als jede der Strecke AC gleiche
Strecke. Die Strecken haben die folgenden Grundeigenschaften:
3. Grundsatz: Wenn A, B, C gegebene Punkte, CX eine
gegebene Strecke ist, so existiert genau ein Punkt D so, daß die
Strecke CD der Strecke AB gleich und der Strecke CX inzident ist.
Dieser Grundsatz ist von den vorhergehenden Grundsätzen unab-
hängig. Denn läßt man z. B. in der gewöhnlichen Euklidischen
Geometrie der Ebene mit rechtwinkligen Koordinaten nur Punkte
(x, y) mit rationalen x, y zu, so existiert auf der durch die Punkte
(0, 0), (0, 1) gehenden Geraden von (0, 0) an keine Strecke, die der
Strecke der beiden Punkte (0, 0), (1, 1) gleich ist.
4. Definition: Sind A, B, C Punkte einer Geraden und sind
die Strecken BA, BC nicht inzident, so heißt diejenige Strecke AC,
von welcher B ein Punkt ist, die Summe der Strecken AB und BC.
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