Art. 173-174.
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Andererseits sind aber die Begriffe der Strecke und des
Winkels von der Annahme der uneigentlichen Elemente völlig unab-
hängig, wie z. B. die Geometrie des Bündels erkennen läßt, in welchem
ja uneigentliche Elemente nicht vorhanden sind. Demnach muß es
möglich sein, die Theorie dieser Begriffe zu entwickeln, ohne über die
Existenz oder Nichtexistenz uneigentlicher Elemente eine Voraus-
setzung zu machen. Diese Entwicklung, zu der wir nunmehr über-
gehen, nennen wir die metrische Geometrie. Hier werden die Sätze
153, 159, 162, 164 als Grundsätze anzunehmen sein. Nimmt
man dann an, daß keine uneigentlichen Elemente existieren, so er-
hält man die projektivisch-metrische Geometrie. Nimmt man den
Euklidischen Grundsatz an, daß auf jeder Geraden genau ein uneigent-
licher Punkt liegt, so erhält man die Euklidische metrische Geometrie.
Nimmt man schließlich mehrere uneigentliche Punkte auf jeder Ge-
raden an, so kommt man zur Nicht-Euklidischen metrischen Geo-
metrie.*) Demnach ist die Euklidische metrische Geometrie von der
Euklidischen affinen Geometrie wirklich verschieden. Dagegen stimmt
die Nicht-Euklidische metrische Geometrie mit der Nicht-Euklidischen
affinen zwar nicht in ihren Ausgangspunkten, aber sachlich überein.
Die eine beruht auf dem Grundsatz von der Existenz der Affinitäten,
die andere auf den metrischen Grundsätzen.
*) Poincarés,,vierte Geometrie" (s. Poincaré, Wissenschaft und Hypothese,
Leipzig 1904, S. 47) bleibt außer Betracht, da in derselben der auf der Erfahrung
beruhende Satz 33 (resp. 35) nicht stattfindet.