Art. 150-154.
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Zu irgend einem solchen Wertsystem für
die nicht alle Null sind.
Y₁, Y2, ys ergibt sich y reell aus
Y
Yo
yo
(s. I 147 S. 47), so daß (yo, Y1, Y2, y) ein Grenzpunkt ist. Dem-
nach sind die Punkte (xo, X1, X2, X), für welche
-
2
2
2
Y₁² + Y₂² + y²² > 0
2
2
x² < x₁² + x2² + X3²
ist, uneigentliche Punkte.
151. Definitionen: Figuren heißen kongruent (~), wenn es
eine Affinität gibt, in der sie einander entsprechen. Ein Paar eigent-
licher Punkte A, B heißt eine Strecke AB. Die Punkte A und B
heißen Anfangs- und Endpunkt der Strecke AB. Mit AB] wird
diejenige Halbgerade des Punktes A bezeichnet, welche den Punkt
B enthält. Sind I, J die Grenzpunkte der Geraden [AB] und AI,
BJ getrennt, so heißt I der Grenzpunkt der Halbgeraden AB].
152. Satz: Sind zwei Figuren einer dritten kongruent, so sind
sie einander kongruent.
Beweis: Das Produkt der Affinität, in welcher die erste Figur
der dritten, und der Affinität, in welcher die dritte Figur der zweiten
entspricht, ist eine Affinität, in welcher die erste Figur der zweiten
entspricht.
153. Satz: Zu jeder Strecke AB gibt es auf jeder Halbgeraden
A'X] genau eine ihr kongruente Strecke A'B'.
Beweis: In einer Affinität, in welcher der Punkt A dem Punkte
A', die Halbgerade AB] der Halbgeraden A'X] entspricht, ent-
spreche dem Punkte B der Punkt B'. Dann ist nach Definition
A'B' ~ AB; aber es ist zu zeigen, daß keine andere Affinität statt
B' einen Punkt B" +B′ ergibt. Sind I, J die Grenzpunkte der Ge-
raden [A'B'], so müßten die Würfe
A'B'IJ und A'B"IJ gleich sein,
woraus B"
B' folgt.
154. Satz: Es ist Strecke
AB BA.
Beweis: In einer Affinität ent-
spreche dem Punkte A der Punkt
B, der Halbgeraden AB die Halb-
gerade BA], dem Punkte B der
Punkt A'. Da B auf AB] liegt, der BA] entspricht, liegt A' aut
BA]. Sind I, J die Grenzpunkte von AB], I derjenige von AB],
also AI, BJ getrennt, so müssen auch BI, AJ' getrennt sein, d. h.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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I
M
B
N
L
A