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IV. Affine Geometrie.
-
Y₂, y außer y₁ = y = y; = 0 befriedigt wird, wenn jede der „Haupt-
subdiskriminanten" zweiter Ordnung
yı Ya Y3
x² - x2
2
X;x;
x² - x2
Ꮖ ᎪᏆ ;
und jedes der Produkte
(x² - x²)
=
2
x₁-xo
X1
2
x ² (x ² — x² — x¸²)
-
= (x;² — x¸³) x ¹ (x₁²
2
X1 X2
2
x23 - x²
X1 X2
X1 X3
Xq X3
2
+ xq² + X3ª — Xo²)
(i = 1, 2, 3)
der Diskriminante mit einer der Hauptsubdiskriminanten erster Ordnung
positiv ist; andernfalls ist die Form indefinit, d. h. sie kann durch
reelle Werte von y₁, Y₂, Yз, die nicht alle Null sind, den Wert Null
annehmen. Ist nun erstens
so folgt auch
2
2
2
x₁² + X₂² + X3² — x² <0,
x² + x2 − x³ <0
x2
-
x² — x² < 0;
-
(i, j = 1, 2, 3)
demnach ist die quadratische Form der y₁, y₂, y definit, sie wird
also gleich Null nur für y₁ = 0, y₂ = 0, Y3 =
yı
0, welcher Punkt der
Gleichung des Grenzovals
2
2
2
2
yo² = yı² + y²² + Y3²
nicht genügt, da nicht zugleich yo
Demnach sind die Punkte (xo, X1,
X1 X3
Xq X3
x32 — xo²
x² - x² > 0,
-
2
2
2
2
x² > x₁² + x²² + X3²
Y₁ = Y₂ = y; =0 sein kann.
Y2 Y3
X2, Xg), für welche
(i, j = 1, 2, 3)
ist, eigentliche Punkte.
Ist zweitens
so ist entweder
also auch
2
x² + x;² — x² = (x.² — x ³) + (x¸² — x ²) + x ² > 0,
oder es ist irgend eine der Größen
x²- x2 <0,
also jedenfalls eine der Bedingungen des Definitseins nicht erfüllt,
also die Gleichung für Y₁, Y₂, Y, durch reelle Werte zu befriedigen,
2
2
2
X₁²+Xq² + X3² — x² > 0,
(i = 1, 2, 3)