Art. 150.
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da P1, P2, Q1, Q4 in einer Ebene liegen.*) Also folgt
(h, k = 0, 1, 2, 3)
Ank
=
Akh
d. h. die bilineare Form
h, k
9
Σαρακ
а n k Xn Y k
h, k
ist symmetrisch.
Die Grenzpunkte sind diejenigen Punkte, die in ihren Polar-
ebenen liegen, die also der quadratischen Gleichung genügen:
(h, k = 0, 1, 2, 3)
а n k X x X x = 0.
(h, k = 0, 1, 2, 3)
Eine solche Gleichung mit nicht verschwindender Determinante |ax|
läßt sich bekanntlich durch lineare Koordinatentransformation auf eine
der folgenden Formen bringen: **)
2
2
2
2
2
2
2
x² + x₁² = x²² + x²² | x² + x₁² + X2²´+ X3²
x62
=
2
2
X₁² + x2² + X3²,
2
2
X₁² + X₂² + X3².
von denen die linksstehende wegen 115 ausgeschlossen ist, da sie ge-
rade Linien enthält, und die rechtsstehende wegen 107 ausgeschlossen
ist, da sie keinen reellen Punkt enthält. Demnach bleibt als Gleichung
des Grenzovals nur die Gleichung übrig:
XoYox₁₁ + X 2 Y 2 + X 3Y 3
1
x62
Ein Nicht-Grenzpunkt (xo, X1, X2, X3) ist uneigentlich oder eigentlich,
je nachdem ob in seiner Polarebene
XoYo = X1 Y1 X2 Y2 + X3Y 3,
+
=
2
2
2
2
Yo² = Y₁² + Y₂² + Y s ²
ein Grenzpunkt (yo, Y1, Y2, Ys) liegt oder nicht. Die Elimination von
yo aus den beiden Gleichungen
0
gibt für y₁, 2, y, die quadratische Gleichung
2
2
2
(x₁². — x²) y₁² + (x2² — Xo³) Y₂² + (xs² — xo²) Y3 ²
*) Vgl. z. B. Baltzer, Determinanten (Leipzig 1870) p.
**) Vgl. z. B. Jacobi, Crelles Journal 53 (1857) p. 265
+2XqXzY2 Y 3 + 2x₁ X3
•
· Y₁Y 3 + 2 x₁ X2 · Y 1 Y₂ = 0,
welche bekanntlich definit ist, d. h. durch keine reellen Werte 17
=
33, 197.
Werke 3 p. 583.