Art. 140-145.
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[PJ], (nach 130), also geht seine Polarebene durch I und J, also
durch [IJ] = G.
Eine eigentliche oder Grenzebene von H enthält alle Punkte von
5, also gehen deren Polarebenen, also deren Schnittgerade & durch
den Pol von H.
Ist [OP], und 2, TT die Polarebenen von O, P, also = [TT],
so liegt jeder uneigentliche Punkt von & auf und П, also geht
seine Polarebene durch O und P, also durch [OP] = H.
Jede eigentliche oder Grenzebene von & enthält Punkte von G,
deren Polarebenen durch gehen; also liegt der Pol einer solchen
Ebene von auf der Schnittgeraden dieser Polarebenen.
144. Satz: Schneiden sich zwei Nicht-Grenzgerade, so schneiden
sich ihre Polargeraden.
P
Beweis: Seien G, die Polargeraden von ', ' des Punktes
(6'5')
SO ist P sowohl von ([{P} {PH}]G) als von
([{PG} {PH}]) harmonisch getrennt durch das Grenzoval, also
diese beiden Punkte identisch, d. h. es existiert ein Schnittpunkt (GH).
145. Satz: Die Polarebenen aller uneigentlichen Punkte und
die Polargeraden aller Nicht-Grenzgeraden einer Ebene gehen durch
einen Punkt; die Pole aller eigentlichen und Grenzebenen und die
Polargeraden aller Nicht-Grenzgeraden eines Punktes liegen auf einer
Ebene.
Beweis: Für die uneigentlichen Punkte und Nicht-Grenzgeraden
einer eigentlichen oder Grenzebene, und für die eigentlichen und
Grenzebenen und die Nicht-Grenzgeraden eines uneigentlichen Punktes
folgt der Satz aus 137, 139, 143.
Nunmehr seien A, B, C, D vier Punkte einer uneigentlichen
Nicht-Grenzebene, von denen keine drei in einer Geraden liegen, und
A, B, г, ▲ ihre Polarebenen, von denen also nicht drei durch eine Ge-
rade gehen. Da sich die sechs Geraden [AB], [AC], [AD], [BC],
[BD], [CD], deren keine eine Grenzgerade ist, paarweis schneiden,
findet dasselbe für die sechs Geraden [AB], [Aг], [A▲], [Bг], [BA],
[A] statt. Nun liegen z. B. [AB], [Аг], [BF] in keiner Ebene, also
müssen [AA], [BA], [▲] durch deren Schnittpunkt (ABT) gehen;
durch diesen gehen also die Polarebenen A, B, г, ▲ der Punkte A,
B, C, D und die Polargeraden [AB] usw. der Geraden [AB] usw.
Umgekehrt seien A, B, г, ▲ vier Ebenen eines eigentlichen Punktes,
von denen keine drei durch eine Gerade gehen, und A, B, C, D ihre
Pole, von denen also keine drei in einer Geraden liegen. Da sich die
sechs Geraden
[AB], [Aг], [A▲], [Bг], [BA], [[A],