Art. 125-132.
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U, U₁ von I sich selbst entsprechen müssen (128), so wird entweder
I sich selbst und sich selbst, oder U der U₁ und U₁ der Ü ent-
sprechen. Bildet man also das Produkt der Affinität mit sich selbst,
so erhält man in beiden Fällen eine Affinität, in welcher 1 sich selbst
und sich selbst entsprechen. Ebenso entsprechen dann die ex-
tremen Grenzgeraden V, V₁ von J jede sich selbst; und dem A ent-
spreche A". Von den vier Geraden U, U, V, V₁ gehen keine drei
durch einen Punkt; denn z. B. durch (U, U₁) = I geht nicht V oder
V₁, da sonst V oder V₁ zwei verschiedene Grenzpunkte IJ ent-
hielte, und durch (U, V) geht nicht ₁ oder V₁, da sonst U₁ = U
oder V₁ = V sein müßte, gegen die Annahme, daß I und J hyper-
bolische Grenzpunkte sind. Aber eine ebene Affinität (Kollinearität),
in welcher vier Gerade, von denen keine drei durch einen Punkt
gehen, sich selbst entsprechen, ist nur die Identität. Also müßte
denn aus
denn aus der Reihenfolge
aus beiden diese: JA A' A”,
A = A" sein, was nicht der Fall ist,
JAA'I (z. B.) folgt diese: JA'A'I, und
d. h. es ist A″ von A getrennt durch JA', also A”+ A.
130. Satz: Die sämtlichen Grenzgeraden eines Grenzpunktes
bilden ein vollständiges ebenes Büschel.
Beweis: Es seien [I U], [IV] zwei Grenzgerade eines Grenzpunktes
I. Wäre die Ebene {IUV) eigentlich, so hätte der Grenzpunkt I
in ihr zwei verschiedene Grenzgerade [IU], [IV], gegen 129.
Also
ist die Ebene [IUV] uneigentlich und enthält außer I keinen anderen
Grenzpunkt J, da sie sonst eine eigentliche Gerade [IJ] enthielte.
Demnach ist jede Gerade [IW] derselben eine Grenzgerade. Hat
nun der Grenzpunkt I in einer eigentlichen Ebene E die Grenzgerade
[IX], so muß [IX]=[E{IUV}] sein, da es sonst durch I zwei
Grenzgerade gäbe, gegen 129.
131. Definition: Eine Ebene, die genau einen Grenzpunkt ent-
hält, heißt Grenzebene.
132. Satz: Sind in einer eigentlichen Ebene E [01], [OJ]
die beiden Grenzgeraden eines uneigentlichen Punktes 0, der kein
Grenzpunkt ist, ferner A ein eigentlicher Punkt von [I], und I, J
die Grenzpunkte von [OA], so sind die Paare OA, IJ harmonisch.
Beweis: Es sei A'A ein eigentlicher Punkt von [J]. Es
gibt eine Affinität, in welcher die Halbgerade [A] der Halb-
geraden [AI], die Ebene E sich selbst entspricht. In dieser ent-
sprechen die Punkte Io, Jo, also auch deren Grenzgeraden [01],
[OJ], also auch deren Schnittpunkt O sich selbst. Sind I', J' die
Grenzpunkte der Geraden [OA'], welche der Geraden [OA] entspricht,
so entspricht (z. B.) I dem I', und J dem J'; also sind die Würfe