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IV. Affine Geometrie.
Beweis: Es gibt Affinitäten, in welchen einem gegebenen Grenz-
punkt I und einer eigentlichen Ebene E desselben ein gegebener
Grenzpunkt J (= oder + I) und eine eigentliche Ebene ▲ desselben
entspricht; in dieser muß eindeutig jeder Grenzgeraden von I eine
Grenzgerade von J und umgekehrt entsprechen.
125. Satz: Die Grenzgeraden und die eigentlichen Geraden eines
hyperbolischen Grenzpunktes in einer eigentlichen Ebene sind so ge-
ordnet, daß niemals zwei eigentliche Gerade durch zwei Grenzgerade
getrennt werden.
Beweis wie zu 119.
126. Definition: Durch eine eigentliche Gerade A des hyper-
bolischen Grenzpunktes O und eine Grenzgerade 1 desselben werden
in der Ebene {A} alle Geraden von O in zwei Klassen geteilt.
Es sollen die mit einer bestimmten eigentlichen Geraden B von 0
und {A} in derselben Klasse befindlichen eigentlichen Geraden
durch B, B', B", ..., die in der anderen Klasse befindlichen durch
C, C', C",
bezeichnet werden. Dann definiere man eine Gerade
und eine Gerade 5 durch die Anordnungsbeziehungen: es sei AG,
BW getrennt, und AH, CW getrennt für alle eigentlichen Geraden
B, C (A) des Punktes O und für alle diejenigen Grenzgeraden W
desselben, für welche Grenzgeraden W' existieren, so daß AW', BW
resp. AW', CW getrennt sind. Die Geraden G, sollen die „ex-
tremen" Grenzgeraden des hyperbolischen Punktes O in der Ebene
{A} heißen.
127. Satz: Jeder hyperbolische Grenzpunkt hat in jeder seiner
eigentlichen Ebenen genau zwei extreme Grenzgerade.
Beweis wie zu 121.
128. Satz: In einer Affinität entspricht einer extremen Grenz-
geraden eine extreme Grenzgerade.
Beweis folgt daraus, daß einerseits extreme Grenzgerade durch
Ordnungsbeziehungen zu Grenzgeraden und eigentlichen Geraden de-
finiert sind, und daß andererseits Grenzgerade den Grenzgeraden,
eigentliche Gerade den eigentlichen Geraden entsprechen und Ordnungs-
beziehungen erhalten bleiben.
129. Satz: Jeder Grenzpunkt ist parabolisch.
Beweis: Angenommen, es ist I ein hyperbolischer Grenzpunkt,
A ein eigentlicher Punkt, also auch (124) der andere Grenzpunkt J
von [AI] ein hyperbolischer Grenzpunkt. Es sei A'A ein zweiter
eigentlicher Punkt von [IJ], E eine Ebene von [IJ]. Es gibt eine
Affinität, in welcher die Halbgerade [A1] der Halbgeraden [A'I],
die Ebene E sich selbst entsprechen. Da die extremen Grenzgeraden