Art. 118-124.
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AW', BW
getrennt sind, d. h. es ist stets AW', BW nicht getrennt, also mit
Rücksicht auf AB, WW' nicht getrennt folgt AW, BW' getrennt
für jede von W verschiedene Gerade W'. Für eine solche Gerade W
ist also AG, BW nicht getrennt, also AW, BG getrennt. Hieraus
und aus AW, BW' getrennt folgt aber AW, GW' nicht getrennt
für jede von W verschiedene Gerade W'. Wäre nun +G, SO
gäbe es stets von 2 verschiedene Geraden W', so daß AW, GW' ge-
trennt sind; denn die Reihenfolge ABWG läßt erkennen, daß z. B.
die vierte Harmonische von A in bezug auf WG eine solche Gerade
Wist. Also ist G W, d. h. G eine Gerade, für welche AG, BW
getrennt sind, für jede uneigentliche Gerade WG. Die Gerade &
ist uneigentlich, enthält also sicher nicht zwei Grenzpunkte (114).
Enthielte sie aber deren keinen, so existierten auf Grund der Stetig-
keit uneigentliche Geraden von 0, für welche die Reihenfolgen
GG'BA, für alle Geraden B stattfinden, da diese Bedingungen wider-
spruchslos sind. Demnach enthält & genau einen Grenzpunkt. Das-
selbe gilt für H.
122. Satz: Durch jeden Grenzpunkt geht in jeder eigentlichen
Ebene wenigstens eine uneigentliche Gerade, also eine Grenzgerade.
Beweis: Es sei U ein uneigentlicher Punkt der eigentlichen
Ebene E, in welcher der Grenzpunkt I der eigentlichen Geraden [AI]
liegt; und es sei [UJ] die eine Grenzgerade von U, J ihr Grenz-
punkt. Es gibt Affinitäten, in welchen der Punkt A sich selbst, die
Halbgerade [AI] der Halbgeraden [AJ] entspricht. In einer solchen
Affinität muß der durch J gehenden Grenzgeraden eine durch I
gehende Gerade entsprechen, die mit Rücksicht auf 110 keinen weiteren
Grenzpunkt außer I enthält, also eine Grenzgerade ist.
123. Definition: Ein Punkt, durch den in einer eigentlichen
Ebene genau eine Grenzgerade geht, heißt „parabolisch"; ein Punkt,
durch den in einer eigentlichen Ebene mehr als eine Grenzgerade
geht, heißt „hyperbolisch", ein Punkt, durch den in einer eigentlichen
Ebene keine Grenzgerade geht, heißt „elliptisch". Demnach sind nur
die eigentlichen Punkte und diese in jeder Ebene elliptisch, nur die
uneigentlichen Punkte und diese in jeder Ebene hyperbolisch, und die
Grenzpunkte können in jeder Ebene nur parabolisch oder hyper-
bolisch sein.
124. Satz: Je nachdem ob ein einziger Grenzpunkt in einer
einzigen eigentlichen Ebene parabolisch oder hyperbolisch ist, ist jeder
Grenzpunkt in jeder eigentlichen Ebene parabolisch oder hyperbolisch.