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IV. Affine Geometrie.
V
der drei Punkte eigentlich sein. Denn sind z. B. V und W eigent-
lich, so muß zunächst U uneigentlich sein. Andernfalls wären nämlich
W
Ist also jetzt U uneigentlich (s. Fig.), so sei PV,+W irgend
ein Punkt von [VW],.
(s. Fig.) die eigent-
lichen Punkte VW
getrennt durch die
Punkte
X = ([JJ][UP]), Y = ([IL] [UP]),
X₁ = ([IJ₁][UP]), Y₁ = ([J][UP]).
*
([IJ] [VW]),
([J] [VW]),
welche uneigentlich
sind, da sie von dem
eigentlichen Punkte
U durch die Grenz-
punkte IJ resp. LJ
getrennt sind.
Ist z. B. X uneigentlich, so findet die Reihenfolge VJXJ statt;
also auch durch Projektion von U die Reihenfolge VIYI₁, d. h. auch
Y ist uneigentlich. Ferner ergibt sich durch Projektion von U auf
[IJ] die Reihenfolge ([UV][I]), J, X₁, I, d. h. X₁ ist eigentlich,
da er durch IJ₁ von
dem Punkte
W
P
([UV][LJ])
getrennt, also dem
eigentlichen Punkte W
nicht getrennt ist. Dann
folgt noch, daß auch Y₁
eigentlich ist. Ist da-
gegen X eigentlich, so
folgt ebenso, daß auch
Y eigentlich, aber X₁,
Y₁ uneigentlich sind.
Nun ist P von dem uneigentlichen Punkte U harmonisch getrennt so-
wohl durch das Paar XY als durch das Paar X,Y₁, also jedenfalls
durch ein eigentliches Paar, woraus folgt, daß P ein eigentlicher Punkt
ist. Demnach wäre jeder Punkt von [VW] eigentlich, gegen 102.
117. Satz: Durch einen uneigentlichen Punkt, der nicht Grenz-