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IV. Affine Geometrie.
U, G (nach III 4 S. 141); das widerspricht 25 S. 179. Demnach ist jeder
Punkt V der Geraden [HU], für den [JV] die Halbgerade [HY] trifft,
ein eigentlicher Punkt, also U ein Grenzpunkt von
[HU]. Nun existiert eine Affinität, in welcher
die Ebene [HIJ] sich selbst, die Halbgerade
[HY] der Halbgeraden [HI] entspricht (s. Fig.).
Der durch Y gehenden Geraden &, für welche
Y kein Grenzpunkt ist, muß also eine durch I
gehende Gerade & entsprechen, für welche I
kein Grenzpunkt ist, von der aber jeder un-
eigentliche Punkt Grenzpunkt einer Geraden von
Hist. Entsprechen den Punkten I, J, G, Y des
ersten Systems bzw. die Punkte I, J, G, Y 1
des zweiten Systems, so muß in bezug auf J
(resp. I) einer der folgenden Fälle stattfinden: die Halbgeraden [HI],
[HY], [HJ], [HJ] liegen in dieser Reihenfolge oder in dieser:
[HI], [HY], [HJ], [HJ],
H
I
J
Y
I-Y
G
oder in dieser:
J
[HI], [HJ], [HY], [HJ].
Ist nun erstens GG, so ergibt sich im ersten und zweiten Fall,
daß Y resp. ([HY]) kein Grenzpunkt sein könnte; und im dritten
Fall, daß J resp. ([HJ]G) kein Grenzpunkt sein könnte. Der Fall
[HJ]=[HJ] kann zum ersten oder zweiten, der Fall [HJ]=[HY]
zum zweiten oder dritten gerechnet werden; es ist nie
[HJ]=[HI]=[HY],
weil aus YJ stets YJ folgt.
=
Ist aber zweitens & , so sind die uneigentlichen Punkte I, J
von getrennt durch den eigentlichen Punkt G von und den
Punkt Y = J, gegen die Annahme, daß I ein Grenzpunkt von G ist.
113. Satz: Zu jeder eigentlichen Geraden gibt es durch jeden
nicht auf ihr gelegenen Punkt genau zwei Parallele; sind also in
einer Ebene zwei Gerade einer dritten parallel, so brauchen sie nicht
einander parallel zu sein. Sind aber zwei Halbgeraden einer dritten
Halbgeraden parallel, so sind sie einander parallel.
Beweis folgt aus 109, 111.
114. Satz: Eine durch zwei Grenzpunkte I, J gehende Gerade
ist eigentlich.
Beweis: Wären alle Punkte der Gerade [IJ] uneigentlich, so
gäbe es ein Paar uneigentlicher Punkte UV, getrennt durch IJ. Es