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IV. Affine Geometrie.
eigentliche Punkte W' existieren, so daß AW', BW resp. AW', CW
getrennt sind.
Beweis folgt aus der Stetigkeit und aus der in 105 bewiesenen
Widerspruchslosigkeit der aufgestellten Bedingungen.
108. Satz: Die nach 107 auf einer eigentlichen Geraden G
existierenden Punkte I, J sind eindeutig bestimmt.
Beweis: Existiert außer I ein zweiter (uneigentlicher) Punkt I',
der denselben Bedingungen genügt, so ist AB, II' nicht getrennt, also
findet entweder die Folge AII'В oder AI'IB statt. Ist nun AW,
II' getrennt, also W uneigentlich, so folgen aus den Reihenfolgen
AIWI' und AII'B die Folgen AWI'B und AIWB (s. III 14 S. 147),
d. h. AI, BW nicht getrennt, während W nicht zu den angenom-
menen Punkten gehört; denn es existiert W' I′ so, daß AW', BW
getrennt. Ebenso ergeben sich aus den Folgen AIWI und AI'IB
die Folgen AWIB und AI'WB, d. h. AI′, BW nicht getrennt,
während W nicht zu den ausgenommenen Punkten gehört, denn es
existiert W' I so, daß AW', BW getrennt sind.
109. Definition: Die nach 107, 108 auf jeder eigentlichen
Geraden existierenden zwei bestimmten uneigentlichen Punkte I, J
heißen die „Grenzpunkte" derselben. Die Menge der Grenzpunkte im
Raume heißt das „Grenzoval". Dasselbe hat also die Eigenschaft,
von jeder eigentlichen Geraden in genau zwei Punkten geschnitten
zu werden.
110. Satz: Bei jeder Affinität entspricht das Grenzoval sich
selbst.
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Beweis: Da bei einer Affinität die eigentlichen Punkte den
eigentlichen, die uneigentlichen den uneigentlichen entsprechen und
die Ordnungsbeziehungen erhalten bleiben, müssen die durch Ord-
nungsbeziehungen in bezug auf eigentliche und uneigentliche Punkte
definierten Grenzpunkte ebenso definierten Punkten, also Grenzpunkten
entsprechen.
111. Definition: Geht eine eigentliche Gerade & durch einen
Grenzpunkt einer eigentlichen Geraden H, so heißt & parallel (1)
zu H.
112. Satz: Ist & parallel zu H, so ist ½ parallel zu G*); d. h.
*) Diesen Satz beweist z. B. auch J. Bolyai, aber mit Benutzung von Kon-
gruenzgrundsätzen. Vgl. Appendix Scientiam spatii absolute veram exhibens § 6.
Ebenso Gauß (Werke VII p. 203), der dazu äußert: „Nicht ganz so evident ist
die Reziprokität des Parallelismus". Lindemann (Vorlesungen über Geometrie,
Leipzig 1891, II 1, 3. Abt. und neuerdings in den Anmerkungen zu Poincaré,
Wissenschaft und Hypothese, deutsch von F. und L. Lindemann, Leipzig 1904,
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