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IV. Affine Geometrie.
93. Satz: Ist A, AS,
Summe der Tensoren A, A S₁,
BBS₁, B₂ BS2.
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Beweis: Der Desarguessche Satz ergibt aus den Dreiecken
à ¸½, BBB₂, daß sich [4₁₂], [В₁В₂] in demselben Punkte von
[SS] schneiden; dieser ist in bezug auf S, S₂ der vierte harmonische
von S₁+2. Ist jetzt B1+2 = ([BS1+2] [BB]), so ergibt der Desar-
guessche Satz aus den Dreiecken А¸Ã₁+2,
BB₁B₁+27 daß
ist; also ist
BBS₁, A, AS, BBS, so ist die
A, AS, gleich der Summe der Tensoren
=
=
[A1+2 B₁+2] [AB]
1 ||
B₁+2BS1+2 = A1+2 AS1+27
was zu beweisen war.
94. Satz: Die Addition gebundener Tensoren ist kommutativ
und assoziativ.
Beweis: Man erkennt dies am einfachsten, wenn man eine durch
S1, S2 resp. S1, S2, S3 gehende Ebene als uneigentlich betrachtet; dann
sind die in 57, 58 gegebenen Beweise unmittelbar übertragbar.
95. Satz: Für die Addition und Multiplikation gebundener Ten-
soren gelten die beiden distributiven Gesetze.
Beweis: Ist zunächst das erste distributive Gesetz für die
Tensoren
2
(¸ç。) · (‹Â¸Ã§₁) + (AAS₂)) = (øç¸) · (¸ç₁) + (øç¸) · (½à §½)
zu beweisen, so seien A₁+2,
S1+2
wie in 92 erklärt, ferner (s. Fig. S. 199)
A10, 420, S10, S20, A(1+2)0, S(1-
(1 + 2)0
wie in 90. Dann gehen
[§₁₁], [A₂S₂], [S10410], [420 S20]
durch einen Punkt A; also liegen nach dem Desarguesschen Satz auf
je einer Geraden die Punkte
([S₁ A₂] [A₁ S₂]) = P, ([A, A₂o] [S2 S20]) = So, ([S₁ 420 ] [4₁ S20])
A20]
und die Punkte
([S10420] [S20410])
So,
([S₁ S₁0] [4₁₁0]) = So, ([S10420] [S20410]) = Q, ([S₁ 420] [A₁ S20]);
also gehen [S₁0420], [S20410] durch einen Punkt Q von [PS]. Ferner
gehen [41410], [4,420], [S₁S10], [S, S20] durch einen Punkt So; also
liegen auf je einer Geraden die Punkte
([A₁S₁] [4₁0 S₁0] = A, ([4₁§½][A10S20] = B, ([S₁ S₂] ]S10 S20)]
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