Art. 86-92.
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89. Definition: Wir betrachteten bisher parallele Tensoren
oder Dehnungen als identisch. Nunmehr wollen wir dieselben nur
dann als identisch betrachten, wenn sie sich auf denselben festen
Punkt S beziehen. Solche Tensoren oder Dehnungen sollen „ge-
bundene" heißen; demgegenüber heißen die früher betrachteten „freie".
Ein Vektor ist als ein an einen uneigentlichen Punkt gebundener
Tensor, ein uneigentlicher Tensor, anzusehen.
90. Satz: Das Produkt gebundener Tensoren (s. 78) ist ein
gebundener Tensor.
Beweis: Es seien zwei an die Punkte S1, S2, die auch uneigent-
lich sein können, gebundene Tensoren A, AS₁, A, AS, gegeben. Man
konstruiere
aus
A12, B1, B2, B12, C1, C2, C12
-
=
2
A₁₁₁ §¸ — B₁₂ B¸§₂ — B¸Â§‚ — A‚A§, BB§¸ — ¸ç¸.
A1241 S₂ · = BS2 AS₂, =
Dann ergibt der Desarguessche Satz aus den Dreiecken AA, A12,
BBB₁₂, daß sich [AA₁₂], [BB₁₂] in demselben Punkte S₁₂ von
[SS] schneiden, und es ist 42 AS12= B12BS12 das Produkt der
gegebenen Tensoren.
91. Satz: Die Multiplikation gebundener Tensoren (s. 90) ist
stets assoziativ, aber kommutativ nur, wenn beide uneigentlich sind.
Beweis: Das Letztere ergibt sich unmittelbar; denn ist
A12 A₁ S₂ = A, A S2, A21A,S₁ = ¸ ç₁,
A₁AS₁,
1
so ist 412
=
1
A₁₁ nur, wenn [A,A,1]||[AA₁], [4,4₁₂]||[44], also
S₁ = ([A₂ A21] [A A₁]), §₂ = ([Â₁₂1] [44]), also beide uneigent-
2
lich sind.
Das assoziative Gesetz ergibt sich z. B. wie folgt: Es sei
A, AS₂ = A₁₂ A₁ S2, A23 AS3 = A(12)3 412 S3,
A12
2
dann ergeben die Dreiecke AA2 A23, Д14124(12)3 vermittelst des
Desarguesschen Satzes, daß sich [AA23], [4, 4(12)3] in demselben
Punkte S3 von [SS] schneiden. Demnach ist
A(12)341 S23 = A23 AS23, d. h. A(12)3 = 41(23)·
92. Definition: Als Summe der gebundenen Tensoren A₁AS₁,
AAS, wird der Tensor A1+24S1+2 definiert, in welchem
S1 + 2 = ((S₁ S₂] [A ([4₁ S₂] [4, §,])])
A₁+2 = ([4,49] [A ([4¸ §,] [4, §¸])])
ist. Diese Definition ist zulässig, da der Satz besteht: