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IV. Affine Geometrie.
gelegen; Figuren, die auseinander durch Dehnungen und Schiebungen
und eine Spiegelung hervorgehen, heißen symmetrisch und symme-
trisch gelegen. Ein Halbgeradenpaar eines Punktes heißt ein Winkel;
ähnliche oder symmetrische Winkel heißen gleich. Die beiden Halb-
geraden einer Geraden bilden einen gestreckten Winkel. Sind A, B, C
drei Halbgerade eines Punktes, so heißt der Winkel AC die Summe
der Winkel AB und BC. Unter dem Winkel A eines Dreiecks ABC
versteht man das die Punkte B, C enthaltende Halbgeradenpaar des
Punktes A. Unter der Seite AB eines Dreiecks versteht man den
Vektor AB.
86. Satz: In ähnlichen oder symmetrischen Dreiecken sind ent-
sprechende Winkel gleich, entsprechende Seiten parallel und die drei
Verhältnisse der parallelen Seitenpaare gleich.
Beweis folgt aus 83 und 85.
87. Satz: Die Summe der Winkel eines Dreiecks ABC ist
einem gestreckten gleich.
Beweis: Sei [A″CB"]|| AB, AC=CA', BC = CB', so ist
LA = LA'CB", LB = A″CB′ (durch Schiebungen), LC = B'CA'
(durch Spiegelung); also die Summe gleich A"CB", einem gestreckten
Winkel.
88. Satz: Bezeichnet man mit t Tensoren, mit v Vektoren, so
bilden die Aggregate (t, v) ein singuläres Zahlensystem.
Beweis: Man setze Addition und Multiplikation wie folgt fest:
(t, v) + (t₁, v₁) = (t + t₁, v + v₁)
(t, v) · (t₁, v₁) = (tt₁, tv₁ + t₁v),
wo die Summen und Produkte nach 56, 78, 83 aufzufassen sind. Die
Gültigkeit der assoziativen, kommutativen und distributiven Gesetze
der Addition und Multiplikation liegt auf der Hand, z. B. wird
(t, v) · (t₁, v₁) · (t2, v₂) = (t t₁ t₂, v t₁ t₂ + t v₁ t₂ + t t₂ v₂)
und
((t, v) + (t₁, v₁)) (t₂, V₂) = (t + t₁, v + v₁) · (t2, V2)
=
(t t₂ + t₁ t₂, t₂ v + t₂ v₁ + t v₂ + t₁v₂)
=
·
· (t t₂, tv₂+ tą v) + (t₁ t₂, tqv₂ + t₂ v₁) = (t, v) (t2, V2) + (t1, V1) (t2, V2).
Die Zahlen (0, 0) sind als Null, (1, 0) als Eins zu betrachten. Die
Zahlen (0, v) sind singulär, denn es wird
(0, v) (0, v₁) = (0, 0)
bei jedem v und v₁.
Die Zahlen (t, v) können als „duale“ Zahlen
(s. I 46, 76 S. 17, 23) t + ɛv, mit ε² 0, aufgefaßt werden.
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