Art. 76-85.
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wo U der gemeinsame uneigentliche Punkt beider Geraden ist, nur
in dem angegebenen Falle gleich sind.
81. Satz: Liegen ABC auf einer, A,B,C, auf einer dazu parallelen
Geraden, und bestehen die Vektorengleichungen AB A₁В₁, AC=С₁B₁,
so ist Tensor CAB
C₁B₁A₁.
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Beweis: Wie aus 50 oder 54 folgt, treffen sich [AB₁], [AB]
und [AB₁], [CC₁] im Mittelpunkt von AB₁; da derselbe nach 53 ein-
deutig bestimmt ist, gehen [AB₁], [BÃ₁], [СС₁] durch einen Punkt.
Da außerdem [AB]||[4,B], so ist nach 80 CAB = C₁B₁Ą₁.
Entsprechend für koinzidierende Geraden.
82. Satz: Das Stattfinden der Tensorgleichung
=
und der Vektorgleichung
darf mit
A'AB λ
=
A" B" A'B
A"B" λ. AB
2.
A'B'
AB
==
=
•
bezeichnet werden, da dies mit der Vektorkomposition 56 in Ein-
klang ist.
Beweis: Es sei
A'B' A'B'
+
AB
A. B
-
2. AB
A"B"
B"C"λ BC,
Ist A″ B" = A'B, so
B″C" = BC′ = C₁C,
so ist zu zeigen, daß auch "C" 2. AC. ist.
folgt aus der ersten Gleichung A'AB =λ. Ist
so folgt aus der zweiten Gleichung CBC= 2, also (81) C'CB = λ,
also C'CB = AAB, also (71) [AC]|[AC]. Ist nun A″C = A'C',
also [A'A″] || [BC], so folgt A″AC=A'AB = 2, also A″C = 2. AC,
A'C' 2 AC, was zu beweisen war.
•
83. Demnach kann man den Tensor A'AB als das Verhältnis
A"B"
zweier Vektoren
auf derselben oder auf parallelen Geraden be-
AB
trachten, und das Produkt aus einem Tensor und einem Vektor ist
ein Vektor. Infolgedessen werden Addition und Multiplikation von
Tensoren durch die Formeln
-
AB
Α' Β''
·
=
A'B' + A"B"
AB
Α' Β'
A"B"
=
_____
erklärt (analog zu 67).
84. Der Tensor einer Spiegelung ist gleich - 1.
85. Definitionen: Figuren, die auseinander durch bloße Deh-
nungen und Schiebungen hervorgehen, heißen ähnlich und ähnlich.
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