Art. 65-67.
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[CA], und [NM]||[CA], also [NM] [PQ], also
MS SP, also, unter Annahme des assoziativen
also (52): [PQ]
(53) NS = SQ,
Gesetzes:
(A+B) + C = 2M+C=2(M+P) - (2 P-C)=4S-S 3S
=
und ebenso:
A+ (B+C) = A + 2 N = − (2 Q − A) + 2 (N +Q) S+4S=3S,
so daß die Voraussetzung des assoziativen Gesetzes niemals auf einen
Widerspruch führt.
66. Definition: Unter dem Produkt zweier Affinitäten soll die
durch aufeinanderfolgende Anwendung beider entstehende Affinität
verstanden werden. Insbesondere ist also das Produkt der eigent-
lichen Spiegelungen A, B die durch den Vektor 2 AB repräsentierte
Schiebung. Demnach ist A. A die Identität, also = A zu setzen,
wodurch die Division auf die Multiplikation zurückgeführt wird. Die
Produkte uneigentlicher Spiegelungen unter sich oder mit eigent-
lichen werden erklärt durch die Festsetzungen:
1
A
·
(AB) CA C-B.C-2AB
A. (C-D) ACAD 2DC
(A — B) · (C' — D) = A · C-B.C—A ·D+B· D= 2 · A B—2 AB=0,
die zugleich erkennen lassen, daß die uneigentlichen Spiegelungen
singuläre Elemente sind, so daß eine Division mit ihnen nicht exi-
stiert.
=
erscheint jetzt als Multiplikation:
•
•
A
67. Definition: Demnach können die Vektoren AB als Spiege-
lungsquotienten aufgefaßt werden und die früher als Addition dar-
gestellte Komposition der Vektoren
B
ABBC AC
A B
A
B C C'
=
=
=
+
C с
A B A+ B
C
=
-
P
und zu dieser Multiplikation tritt jetzt eine Addition. Man bringe
nämlich die zu addierenden Vektoren auf denselben Nenner (43, 46),
dann ist
zu setzen und A+B nach 64 zu definieren. Nunmehr bilden also
die Vektoren nicht mehr bloß eine Gruppe, sondern ein Zahlensystem,
für welches der Satz gilt: