Art. 56-64.
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gegen 36, falls nicht [EB] = [EC], also B = C ist. Aus
AB+BC=AB+BD folgt AC AD, also CD, also BC= BD.
Es ist ABBA = 0, also (I 48 p. 17) BA = - AB zu setzen.
60. Bezeichnung: Ist AA, A₁ A₂ = A, A3 = · · ·,
man A4k AА₁ und ¸Â
AA
so setzt
AA, also
AoAr =h. AA₁
61. Aufgabe: Wenn 44, gegeben ist, so soll A₁ = øC
konstruiert werden.
AC
Lösung: Es sei A' nicht auf [4,4₁] und man mache
AA' = Α' Α"
A" A""
A(k−1) A(k)
dann
so ist nach 50:
•
also (60)
ferner ist (60)
=
=
=
=
1
k
-.
―
•
-
h
k
-
A' B′ || A″ B" || A""' B'"' · | A() A₁,
B', B",
auf [¼¼₁];
AB' = B'B" B"B"" B'"' B'""' usw.
·
Ao
Ã…Â₁ = k · ¸Â'‚ øÐ′
AДx.
-
1
k
A。 A₁;
h
AB() = h · AB' = ½½ ù‚·
-
k
h
k
= •
"
B(-1) A₁,
—
62. Satz: Ist S ein gegebener eigentlicher Punkt und ordnet
man jedem Punkte P den Punkt P' so zu, daß PS SP' ist, so
entsteht eine Affinität.
Beweis: Die angegebene Verwandtschaft kann (nach 49) als
Harmonie in bezug auf S und die uneigentliche Ebene aufgefaßt
werden; oder man folgert die Behauptung so: Liegen A, B, C in
einer Geraden, so ist Vektor
ABASSB = SA' + B'S = B'S + SA'B' A',
also [AB]||[A' B'], ebenso [AC]||[A'C'], also [A′B′] = [A′C′] oder
A', B', C' in einer Geraden.
63. Definition: Eine Affinität der in 62 betrachteten Art heißt
„Spiegelung" am Punkte S, dem „Spiegelungszentrum"; dieselbe kann
durch den Punkt S repräsentiert werden.
64. Definition: Unter der Summe A + B zweier Spiegelungen
A und B soll die Spiegelung am Mittelpunkte M von AB verstanden