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IV. Affine Geometrie.
dann b a" und schließlich b
Es sei drittens
=
-
a
a
=
α =
=
C =
= C.
d. h. es existieren a', a", so daß a a', b
a', a
a", ca" nach
41. Daraus folgt (42) erst a a", dann ba", schließlich b=c,
wenn nicht a', a" auf einer Geraden liegen. In diesem Fall bestimme
man nach 43 auf einer von [a] und [a'] verschiedenen Geraden
a"" = a', dann folgt (42) erst aa"", ba"", dann a" = a"", dann
a", schließlich b
b
C.
46. Satz: Zu jedem Vektor AA' gibt es einen bestimmten
gleichen Vektor BB', wenn B beliebig auf [AA] gegeben ist.
Beweis folgt aus 45 und zweimaliger Anwendung von 43.
47. Definition: Durch die Sätze 41 bis 46 ist Satz 40 be-
wiesen und es kann jetzt jede Schiebung, in welcher A dem A' ent-
spricht, durch den Vektor AA' repräsentiert werden. Beliebige
Figuren und Affinitäten heißen parallel, wenn sie sich nur durch eine
Schiebung unterscheiden.
48. Satz: Ist AB
a"
a",
b nach 44
c nach 44,
=
-
BC= FD, nicht auf [AB], und
E = ([AF][CD]),
=
so gehen [AD], [BE], [CF] durch einen Punkt.
Beweis: Aus FD = AB folgt [FD]||[AB], [AF] [BD], und
aus FD = BC folgt noch [FB]||[DC]. Demnach schneiden sich von
den beiden Dreiecken ACE, BDF die entsprechenden Seiten auf
einer (uneigentlichen) Geraden, also gehen nach dem Desarguesschen
Satze [AD], [BE], [CF] durch einen Punkt.
Zusatz: Es ist auch AF = BD FE und CD
49. Definition: Ist AB = BC, so heißt B der Mittelpunkt des
Vektors AC. Derselbe kann nach 48 als der vierte harmonische
Punkt zu A, C und dem uneigentlichen Punkt von [AC] angesehen
werden. Er ist eindeutig bestimmt (s. 53).
50. Satz: Ist AB=A'B', [AC] parallel oder koinzierend [A′ C′],
[BC] parallel oder koinzidierend [B'C'], so ist auch AC A'C',
BCB'C'.
=
=
BF=DE.
-
Beweis: Liegen erstens AB, A'B' auf verschiedenen Geraden
und ist [AC] [A′C′], [BC]|[B'C'], so schneiden sich die ent-
sprechenden Seiten der beiden Dreiecke ABC, A'B'C' auf einer (un-