Art. 39-45.
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=
||
Beweis: Es sei AA' BB', AA' = CC', d. h.
[AA']||[BB'], [AA']||[CC'], [AB] [A'B'], [AC] [A'C'].
Dann folgt zunächst nach 36, daß auch [BB']'[CC']. Ferner durch
Anwendung des Desarguesschen Satzes, der ja nach 5 bis 24 auch mit
Einschluß der uneigentlichen Elemente gilt, da [AA′], [BB′], [CC']
durch einen (uneigentlichen) Punkt gehen, daß der Punkt ([BC], [B′ C′])
auf der (uneigentlichen) Geraden der Punkte ([AB], [A'B′]),
([AC], [A'C′]) liegt, d. h. uneigentlich ist, d. h. [BC]||[B'C'].
43. Satz: Zu jedem Vektor AA' gibt es einen bestimmten
gleichen Vektor BB', wenn B beliebig, nicht auf [AA'] gegeben ist.
Beweis: Man ziehe durch B die Parallele zu [AA'], durch A'
die Parallele zu [AB]; der Schnittpunkt beider ist der Punkt B'.
Ein solcher Schnittpunkt ist stets vorhanden, denn sonst gäbe es
durch A' zwei Parallelen [A'A], [A'B'] zu der durch B gezogenen
Parallele zu [AA']; diese müßten zusammenfallen, also [AA′]||[AB]
sein, während diese Geraden doch einen Schnittpunkt A haben.
44. Definition: Zwei Vektoren einer Geraden heißen gleich,
wenn sie nach 41 einem Vektor einer anderen Geraden gleich sind.
Diese Definition ist zulässig, da jetzt allgemein der Satz besteht:
45. Satz: Sind zwei Vektoren einem dritten gleich, so sind sie
einander gleich.
d. h. es existiert a' 80,
Beweis: Es soll aus den Vektorengleichheiten ab, a = c
stets bc geschlossen werden, wenn die Gleichungen im Sinne von
41 oder 44 gelten. Es sei erstens
a = b nach 41
a = c nach 41,
so folgt bc nach 42, falls nicht b, c auf derselben Geraden liegen;
in diesem Fall folgt be nach 44.
= c nach 44. Es sei zweitens
daß
a
a
=
=
=
b nach 41
=
c nach 44,
a
a'
Dann folgt (42) zuerst b = a', dann bc, falls nicht a', b auf einer
Geraden liegen; in diesem Fall kann man (nach 43) a' durch a" er-
setzen, so daß
a' nach 41
c nach 41.
a
a"
und a' nicht auf der Geraden [b] oder [a] liegt. Dann folgt (42) zunächst
=