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IV. Affine Geometrie.
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Beweis: Man lege durch & und P auf & die Ebene {PG₁} = E.
Diese schneidet die Ebene {G} in einem Punkte P, also in einer
Geraden durch P. Existierte ein Punkt (GG) auf G, so gingen durch
ihn die Ebenen {PG₁} und {G}, also auch ihre Schnittgerade G₁,
gegen die Annahme, daß G||G₁. Existiert kein Schnittpunkt (GG),
so muß sein, da sonst durch P zwei Parallele zu & exi-
stierten, d. h. Œ, und & liegen in einer Ebene. Schnitten sich nun
G₁, G₂ in einem Punkte, so gingen durch diesen zwei Parallele zu
G, gegen 36. Demnach schneiden sich G₁, G, nicht, liegen aber in
einer Ebene, d. h. sie sind parallel.
G₂
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39. Definition: Eine Affinität, in welcher jeder uneigentliche
Punkt und kein eigentlicher Punkt sich selbst entspricht, heißt eine
,,Schiebung".
40. Satz: Es gibt Schiebungen, und entsprechen den Punkten
A, B in einer Schiebung die Punkte A', B', so sind entweder die Ge-
raden [AA], [BB'] koinzident oder parallel, und im letzteren Fall
[AB]|| [A'B'].
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Beweis: Die Existenz der Schiebungen folgt entweder aus der
der entsprechenden Projektivitäten, oder wie folgt. Sind A, A' (+A),
B nicht auf [AA] gegeben, so findet man B' als Schnittpunkt von
[BB']|[AA] und [A'B'] [AB]. Durch zweimalige Anwendung
dieser Konstruktion wird auch zu jedem Punkte B auf [AA] der
entsprechende B' gefunden. Daß diese Konstruktionen eine Kolli-
nearität definieren, folgt so: Liegen A, B, C auf [AA'], dann auch
A', B', C'. Liegen aber A, B, C in einer von [AA] verschiedenen
Geraden, so folgt aus [A′B']||[AB]=[AC]||[AC′], daß [A′ B′]=[A′ C′]
ist. Kein eigentlicher Punkt P geht in sich über; denn wäre P' = P,
dann auch [P'A']=[PA], also A = A', d. h. die Schiebung wäre die
Identität. Kein uneigentlicher Punkt geht nicht in sich über; denn
geht die Gerade [AA′U] in [A'A″ U'] über, so muß sowohl [AA']
wie [A'A"]||[BB′], also [AA'] = [A'A″] sein. Daß aber die an-
gegebene Konstruktion widerspruchslos und eindeutig möglich ist,
folgt aus den folgenden Sätzen.
41. Definition: Ein Punktpaar A, A′ heißt ein „Vektor"*). Zwei
Vektoren AA', BB' zweier Geraden heißen gleich, wenn
[AA'] [BB'],
[AB]|[A'B']
ist. Diese Definition ist zulässig, da der Satz besteht:
42. Satz: Sind zwei Vektoren zweier Geraden einem Vektor einer
dritten gleich, so sind sie einander gleich.
*) Hamilton, Elemente der Quaternionen, deutsch von Glan (Leipzig 1882) I p. 3.