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IV. Affine Geometrie.
bar. Bestimmt man ebenso eine zweite Gerade [AB₁] von P durch
[AE], so ist {[AB] [A₁ B₁]} die gesuchte Ebene, die auch uneigentlich
sein kann.
12. Aufgabe: Auf einer uneigentlichen Ebene {[AB] [A₁B₁]}
uneigentliche Punkte und Geraden anzugeben.
Lösung: Man kann nach 8 Punkte P auf [AB], P₁ auf [A, B₁]
finden; dann sind [PP₁] Geraden der Ebene.
13. Satz: Drei Punkte, die nicht alle eigentlich sind und die
nicht in einer Geraden liegen, haben genau eine Verbindungsebene.
Beweis: Man verbinde zwei der Punkte durch eine Gerade (6, 7)
und verfahre dann nach 10.
14. Aufgabe: Zu entscheiden, ob vier Punkte (GH), (G₁H₁),
(G252), (G,H3) in einer Ebene liegen, oder ob zwei Gerade:
[(GH) (G₁H₁)[ = [AB], [(G,5,) (G¸§;)] = [[▲]
in einer Ebene liegen, oder ob vier eigentliche Ebenen A, B, г, ▲ sich
schneiden, oder ob drei eigentliche oder uneigentliche Geraden [AA],
[AB], [▲] einer eigentlichen Ebene sich schneiden.
Lösung: Man untersuche nach 10, ob der Punkt ([AA] [AB])
auf [▲] liegt.
15. Aufgabe: Zu entscheiden, ob eine Gerade & = [AB] in
einer Ebene liegt, oder ob drei Ebenen A, B, г durch eine Gerade
gehen.
Lösung: Man wähle zwei Punkte auf G (nach 8) und entscheide
nach 14, ob sie in der Ebene liegen.
16. Satz: Eine eigentliche Gerade & und eine eigentliche nicht
durch gehende Ebene E haben genau einen Schnittpunkt, der auch
uneigentlich sein kann.
Beweis: Ist A ein eigentlicher Punkt auf E, so ist ([{4}E])
der gesuchte Punkt.
17. Satz: Zwei verschiedene eigentliche oder uneigentliche
Geraden G, einer eigentlichen Ebene haben genau einen Schnitt-
punkt.
Beweis: Man wähle einen eigentlichen Punkt O nicht in {G};
dann ist ([{0} {0}]{G}) der Schnittpunkt, der eventuell nach
16 zu bestimmen ist.
18. Satz: Eine uneigentliche Gerade [▲] und eine nicht durch
sie gehende eigentliche Ebene E haben genau einen Schnittpunkt.
Beweis: Der Schnittpunkt ist ([Eг] [EA]), also eventuell nach
17 zu bestimmen.