Art. 3-11.
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völlig bestimmte eigentliche Verbindungsgerade. Liegt P in {GH},
O außerhalb beliebig, so ist [{[OP][OQ]} {H}] die Verbindungs-
gerade, die nach 4 eigentlich ist.
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7. Satz: Zwei uneigentliche Punkte P= (6), P₁ = (G₁H₁)
haben genau eine Verbindungsgerade.
Beweis: Man ziehe (nach 6) von A auf & die Gerade [AP₁]= G',
von B auf die Gerade [BP]='; ist jetzt (GG'}+{HH'}, so
ist [{GG'} {HH'}] die Verbindungsgerade. Ist aber {GG′} = {HH'},
so wähle man O außerhalb dieser Ebene, dann ist [{[OP][OP]} {GH}]
die Verbindungsgerade.
Die Verbindungsgerade zweier uneigentlichen Punkte ergibt sich
also als Schnittgerade zweier eigentlichen Ebenen. Dieselbe braucht
nicht eigentlich zu sein, da der Satz: Zwei verschiedene Ebene schneiden
sich in einer Geraden, nur auf Grund des hier nicht angenommenen
Grundsatzes: Zwei verschiedene Geraden einer Ebene schneiden sich
in einem Punkte, bewiesen worden ist.
8. Aufgabe: Auf einer uneigentlichen Geraden [▲E] uneigent-
liche Punkte anzugeben.
Lösung: Durch den eigentlichen Punkt A auf ▲ und den eigent-
lichen Punkt B auf E lege man die (eigentliche) Ebene {G}, welche
▲ in G, E in H eigentlich schneidet. Durch A₁ in ▲, nicht auf G,
ziehe man (nach 6) die Gerade G₁ nach (GH); dann ist (GG₁) ein
Punkt von [AE].
9. Aufgabe: Zu entscheiden, wann drei uneigentliche Punkte
(GH), (G₁H₁), GH) in einer Geraden liegen.
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Lösung: Durch A auf &, durch B auf § ziehe man (nach 6)
die Geraden G', ' nach (G₁₁), G", 5" nach (GH). Dann liegen die
drei Punkte in einer Geraden, wenn und nur wenn 6, 6', &" in einer
Ebene, 5, 5'," in einer Ebene liegen.
10. Aufgabe: Zu entscheiden, wann ein Punkt (GH) auf einer
Geraden [AE] liegt.
Lösung: Man bestimme nach 8 zwei Punkte auf [▲E] und ver-
fahre nach 9.
11. Satz: Ein eigentlicher oder uneigentlicher Punkt P (GH)
und eine eigentliche oder uneigentliche Gerade [AE] haben genau
eine Verbindungsebene, wenn (GH) nicht auf [AE] liegt.
Beweis: Liegt oder in ▲ oder E, so ist ▲ oder E die
Ebene (P[AE]}. Andernfalls lege man durch D in ▲ und E in E
eine Ebene; diese gibt die eigentlichen Geraden D und & in ▲ und E,
welche sich auf [AE] schneiden. Dann ist (nach 6 oder 7) die Gerade
[P(DE)] als Schnittgerade zweier eigentlichen Ebenen [AB] darstell-