Art. 57-61.
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Die aequianharmonische Darstellung der imaginären Elemente
ruht wie die harmonische auf analytischem Grunde, soll aber nun-
mehr rein geometrisch entwickelt werden.
57. Definition: Drei verschiedene Punkte ABC einer Geraden
heißen ein „imaginärer" Punkt der Geraden. Die drei imaginären
Punkte ABC, BCA, CAB seien identisch, die zwei Punkte ABC,
CBA heißen „konjugiert". Drei verschiedene Ebenen AB einer
Geraden heißen eine „imaginäre" Ebene der Geraden. Die drei imagi-
nären Ebenen ABг, BгA, гAB seien identisch, die zwei Ebenen
АВГ, ГВА
ABг, гBA heißen konjugiert". Drei verschiedene Geraden ABC
eines Büschels heißen eine „imaginäre" Gerade eines Büschels.*) Drei
verschiedene Geraden ABC, die sich zu je zweien nicht schneiden,
heißen eine „imaginäre" Gerade des Raumes.*) Die Geraden ABC,
BCA, CAB seien identisch, die Geraden ABC, CBA heißen „kon-
jugiert“. Die nichtimaginären Elemente heißen „reell“.
58. Definition: Die beiden imaginären Punkte (ABC) und
(A'B'C') einer reellen Geraden heißen identisch, wenn und nur wenn
die drei Würfe:
A'ABC, B'BCA, C'CAB
gleich sind.
59. Satz: Ein imaginärer Punkt (ABC) kann stets durch ein
Tripel (OPQ) eindeutig repräsentiert werden, von dem O ein ge-
gebener Punkt der Geraden [AB] ist.
Beweis: Man konstruiere P und Q aus
PBCA=0ABC, QCAB= 0ABC;
dann ist (ABC) = (0PQ) und die Punkte P, Q ergeben sich ein-
deutig (II 118 S. 112).
60. Definition: Der imaginäre Punkt (ABC), die imaginäre
Gerade [ABC], die imaginäre Ebene (ABS) koinzidieren, wenn A in
A in A, B in B in B, C in C in liegt.
61. Satz: Zwei imaginäre Ebenen (ABг}, {A'B'T'} einer reellen
Geraden sind identisch, wenn und nur wenn die drei Würfe (II 149 S. 135)
Α΄ΑΒΓ, Β'ΒΓΑ, Γ’ΓΑΒ
gleich sind.
Beweis: Werden die sechs Ebenen ABгA'B'г' von einer reellen
Geraden in den sechs Punkten ABCA'B'C' geschnitten, so sind
(ABC), (A'B'C') die Schnittpunkte von mit den beiden Ebenen.
*) Imaginäre Gerade erster und zweiter Art bei z. B. Grünwald 1. c.; niedrig-
imaginäre und hochimaginäre Gerade bei Klein, Nicht-Euklidische Geometrie
(Göttingen 1893) II p. 40.