Art. 52.
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h
CDXQ folgen die stattfindenden CDPQ, so daß die Ordnungs-
beziehungen einander nicht widersprechen. Ein solcher Punkt X
hat die folgenden Eigenschaften. Erstens ist er von C getrennt
durch AD; denn aus den Reihenfolgen CD QA, CDXQ folgt (15)
CDXA, also CX, DA getrennt. Zweitens ist er von jedem Punkte P₁
und jedem Punkte Q verschieden, da sonst nicht XD, PC getrennte
und XD, QC nicht getrennte Paare wären. Wäre nun X ein sich
nicht selbst entsprechender Punkt, so würde er entweder zur Klasse Pr
oder zur Klasse Q gehören. Demnach ist X ein sich selbst entspre-
chender Punkt. Drittens existiert kein sich selbst entsprechender
Punkt R getrennt von C durch XD, da sonst X zur Klasse Q ge-
hören würde.
k
Genau ebenso (indem man A mit B vertauscht) weist man die
Existenz eines sich selbst entsprechenden Punktes Y nach, getrennt
von C durch YD, für den kein sich selbst entsprechender Punkt R ge-
trennt von C durch XD, existiert.
Nun sind CD, XY getrennte Paare; denn aus den Reihenfolgen
BCAD, BCDY folgt (15) CADY oder CD, AY getrennt, und aus
CX, DA getrennt folgt CD, AX nicht getrennt, also schließlich
CD, XY getrennt. Jeder Punkt R, getrennt von C durch XY, ist
also von D nicht getrennt durch XY, also findet entweder die Reihen-
folge XRDY oder XDRY statt. Im ersten Fall folgt aus XD, RY
getrennt und XD, CY nicht getrennt, daß XD, RC getrennt sind;
also ist R kein sich selbst entsprechender Punkt. Im zweiten Fall
folgt aus XR, DY getrennt und XC, DY nicht getrennt, daß CR, DY
nicht getrennt sind; also ist wiederum R kein sich selbst entspre-
chender Punkt. Also gäbe es keinen sich selbst entsprechenden Punkt
getrennt von C durch XY; andrerseits ist aber der vierte harmonische
von C in bezug auf XY nach 12 ein solcher, so daß die Annahme,
es gäbe einen sich nicht selbst entsprechenden Punkt D, unrichtig
sein muß.**)
*) Der v. Staudtsche Beweis des Fundamentalsatzes (Geometrie der Lage,
Nürnberg 1847, p. 50) ist unvollständig, nicht wie Klein (Math. Ann. 6 (1873)
p. 112) meint, weil das Parallelenaxiom dabei vorausgesetzt wird --- denn
solange nicht metrische Axiome hinzukommen, ist das Parallelenaxiom gleich-
bedeutend der bloßen Bezeichnung einer bestimmten Ebene, ihrer Punkte und
Geraden als ,,uneigentlich" (s. affine Geometrie) sondern weil v. Staudt nur
beweist: Die tautologen (sich selbst entsprechenden) Punkte einer Projektivität
mit drei tautologen Punkten liegen dicht. Der Mangel wurde beseitigt von
Lüroth und Zeuthen (Math. Ann. 7, 1873, p. 535), welche auf Grund der (Dede-
kindschen) Stetigkeit als Hilfssatz beweisen, daß die Menge der tautologen
Punkte relativ dicht liegt. Der einfachere Weg (45), diesen Hilfssatz, der nichts
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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