Art. 46-52.
159
Beweis: Es ist zu zeigen, daß auf einer Geraden [441]
stets ein Punkt X existiert, so daß das Paar XA, von gegebenen
Paaren getrennt, von andern gegebenen Paaren nicht getrennt wird.
Ist nun z. B. PQ ein trennendes Paar, so ist A, entweder von P
oder von nicht getrennt durch XA₁, und die Forderung: XA₁, PQ
getrennt, kann durch die beiden Forderungen, XA₁, AP getrennt
(resp. nicht getrennt), XA₁, 4Q nicht getrennt (resp. getrennt) er-
setzt werden, da aus den Reihenfolgen øÃ₁PX (resp. ÃÂ₁XP),
A4, XQ (resp. A4,QX) nach 15 A,PXQ (resp. A,QXP) folgt,
d. h. A₁X getrennt durch PQ. Ist ebenso PQ ein nichttrennendes
Punktpaar, so ist A, entweder von P und Q getrennt durch A₁X
oder nicht, und die Forderung: XA₁, PQ nicht getrennt, kann durch
die beiden Forderungen: XA₁, PA, getrennt (resp. nicht getrennt),
XA₁, QA, getrennt (resp. nicht getrennt) ersetzt werden, da aus ihnen
XA₁, PQ nicht getrennt folgt. Demnach kann man die gegebenen
Paare durch lauter Paare A Pr, A, Q ersetzen, von denen die ersteren
die nichttrennenden, die letzteren die trennenden sein sollen.
h
Jetzt transformiert man die Koordinaten so, daß A。 = (1000),
A₁ = (0100) wird; dadurch werde P (1, Ph, 0, 0), Qx = (1, 9x, 0, 0).
Qk
Damit ein Punkt X existieren kann entsprechend den Reihen-
folgen APXA₁, AXQ4₁, sind jedenfalls die daraus (nach 14)
folgenden APQA erforderlich. Aus diesen folgt nach 17 ent-
weder 0 Pr< oder 0 > Ph> und wegen der Stetigkeit die
Yk
Existenz einer Zahl x, für welche entweder p<x<% oder P₁> X > qk
>:
ist. Nennt man X den Punkt (1, x, 0, 0), so folgen nach 14 für diesen
die Reihenfolgen AP,XA, und AXQ4₁, d. h. das Paar 4X wird
durch sämtliche Paare AP nicht getrennt, durch sämtliche Paare
A Q getrennt, womit der Satz bewiesen ist.
h
እ
51. Satz: Der Grundsatz der Stetigkeit ist unabhängig von
allen vorhergehenden, mit Einschluß dessen der relativen Dichte und
dessen der Meßbarkeit.
Beweis: Die Koordinatengeometrien im System der gewöhn-
lichen rationalen Zahlen.
52. Satz: Der Grundsatz der relativen Dichte ist unabhängig
vom Grundsatz der Stetigkeit.
Beweis: In einer Koordinatengeometrie eines stetigen Zahlen-
systems mit nichtkommutativer Multiplikation (s. I 133) gilt nach 50
der Grundsatz der Stetigkeit, aber nach II 110 S. 107 nicht der
Pascalsche Satz, also nach 29 nicht der Grundsatz der relativen Dichte.
Dagegen ist der Grundsatz der relativen Dichte oder, was nach 31
dasselbe ist, der projektive Fundamentalsatz aus dem Dedekindschen