Art. 36-37.
155
C
d'
a + c
b + d
und so entsteht der nächste Näherungswert nach derselben
Regel durch Komposition von
a + c
b + d
a + c
b + d
α
und so sind ebenso
diese beiden
b'
a + c
sind aber vier solche Brüche
es ist:
b + d'
a + 2 c
b+2d
a
b'
a
a + c
b + d b
({PA, A3}
d. h. P, denn P, P1, A2, A3,
liegen je in einer Ebene.
Sollte x = 0 sein, so
P' = (0, 0, %, t),
also auch den Punkt
с
d
с
d'
C
d
und Liegt aber zwischen
a
b
a + c
b + d
=
a + 2 c
b+2d
also wird die Reihe der Näherungswerte eines Bruches durch Har-
1 0 1
0 " 1 9 1
gewonnen.
monien aus den drei ersten
Bezeichnet man
die Punkte (Z), N), 0, 0) mit P), so gilt für die Reihe der
Näherungspunkte:
――
с
d
zu komponieren.
a + 2 c
b+2d
1;
x
y
av
P(0)= A₁, P₁ = E₁, P₂ = (1, 2, 0, 0), P p(-1) P
..."
Nun
harmonisch, denn
XC
y
0 2 "
2
1 3
3
2
4
des Punktes P (nach II 93 S. 99) dasselbe, was zu beweisen war. Es sind
z. B. harmonisch øЕÂÎР½º‚ øнºЕР¸‚ øинºÐ¸°, usw.
Für einen Punkt (-x, y, 0, 0), wo x und y beide positiv sind,
gilt das Entsprechende, wenn man ebenso von A。 = (− 1, 0, 0, 0),
A₁ (0, 1, 0, 0) und F₁ = (— 1, 1, 0, 0) ausgeht; F, ist der vierte har-
monische Punkt zu А。, A₁, E₁.
37. Satz: Ein rationales Netz enthält alle Punkte P = (x, y, z, t)
mit ganzzahligen Koordinaten x, y, z, t.
Beweis: Das Netz enthält nach 36 die Punkte
P₁ = (x, y, 0, 0), P₂ = (x, 0, ≈, 0), P3 = (x, 0, 0, t),
also auch den Punkt
=
{P, A, A,} {PA, Ag})
2
3
ebenso P, P, A1, A3 und P, P3, A1, A2
enthält das Netz nach 36 die Punkte:
P" (0, y, 0, t), P""=
(0, y, 0, t), P'"' = (0, y, z, 0),
([A₁P′] [A, P″])
d. h. P, denn Ã₁, P', P, ebenso A,, P", P liegen in je einer Geraden.