Art. 30-36.
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( X 3 Y 3 Z 3 t3), ( X Y Z₁t) des Netzes, deren keine vier in einer Ebene liegen,
zu neuen Koordinatengrundpunkten A', A', Ag, Ag', E'. Im neuen
Koordinatensystem erhalte der Punkt P(xyzt) die Koordinaten.
(x'y'z't). Man soll die Transformation der Koordinaten angeben.
Auflösung: Man bestimme fünf ganze Zahlen 20, 21, 22, 23, 24
aus den Gleichungen:
λ o x o + λ 1 x 1 + λ q Xq + λ 3 X3 + λ₁ x ₁ = 0
λo Yo + λ₁Y ₁ + λ2Y2 + λ3Y3 + λ₁ Y₁ = 0
200 + 21% 1 + λ q 2 2 + λ g 2 g + λ₁₁ = 0
λo to + λ₁ t₁ + λg to + λg ty + 2₁ t₁ = 0.
2 2
3 3
Diese fünf Zahlen sind proportional den fünf Determinanten der
Matrix
t
Xo X1 X2 X3 X4
Yo y1 y2 y3 y4
20 21 22 23 24
to to to to ts
von denen keine Null ist, da keine vier der fünf Punkte A', A', Ag',
Ag, E' in einer Ebene liegen. Also kann man 20, 21, 2, 3, 4 alle
+0 annehmen, dann lautet die Transformation:
=
"
ť
•
X = λ X。 · X′ + λ₁ x₁ · Y′´ + λqXq · Z′ + λ3x3 ·
y = λo Yo⋅ x² + λ ₁ Y₁ · Y′ + λ ₂ Y 2 · 2′ + λ3 Y3
t'
·
•
2=
λ。≈。 · x²´ +
λ₁ z₁
· Y′ + λqŵq · Z′ + λgg
t'
t'.
•
•
•
λo to ⋅ x² + λ₁ t₁ · y + hq tq · z + hg tz
In der Tat gehen dadurch die neuen Koordinaten (1000), (0100),
(0010), (0001), (1111) der Punkte A', A,', Ag', Ag', E' in die alten
Koordinaten (oz。to), (x₁₁₁₁), (X2 Y2zqłą), (X3 Yзząłą), (x₁₁₁t) der-
selben über.
36. Satz: Alle auf einer Geraden liegenden Punkte eines ratio-
nalen Netzes und nur diese erhält man aus irgend dreien von ihnen
durch bloße harmonische Konstruktionen.
Beweis: Man kann (mit Rücksicht auf 34) die drei Punkte der
Geraden des Netzes als Punkte A, E₁, 4₁, dann A, A, im Netze be-
liebig, aber mit A, A, in keiner Ebene, dann E unter den Netzpunkten
der Ebene {E₁ A, A,}, aber nicht der Geraden [E, A₂], [E₁ Ag], [A, Ag]
wählen. Dann ist (nach II 93 S. 99) offenbar, daß man durch harmo-
nische Konstruktionen aus A (1000), E (1100), A₁ = (0100)
=