Art. 16--20. 149 Beweis: Aus (z. B.) (PQAEA) und (QRAEA) folgt PA。, QA getrennt, RA, QA nichtgetrennt, also PR, QA getrennt. Ist umgekehrt PR getrennt durch QA, so kann z. B. nicht pr> q) oder r p> q) sein; da im ersten Fall PQ getrennt durch RA, im zweiten QR getrennt durch PA folgen würde, gegen 3. 18. Satz: Gelten in einer Geometrie die Anordnungssätze 1, 2, 3, 4, so bilden die Würfe in derselben ein linear geordnetes Größen- system, d. h. es gilt für dieselben noch das additive und das multi- plikative Anordnungsgesetz. 1 Beweis: Es sei p= (P, E, A, A₁), q= (Q₁ E₁ A。 A₁), r = (R₁ E₁ ¸ Ã₁) usw., T=([A₂H₁][A₁P₂]), U=([A₂H₁][A₁ Q₂]), V = ([A₂H₁] [A₁R₂]) usw., so ist (nach 4) die Reihenfolge P2 Q2 R2... A dieselbe wie TUV... A, also auch wie T, U, V₁... A₁, wenn T₁ = ([ET] [A, A41]), U₁ = ([EU][A。A₁)], V₁ = ([EV][¸Â₁]) usw. Und es ist - 1 1 (T₁ E₁ ¸ ø) = (P₁Е₁ ¸Â₁) + (H₁Е‚Â¸Â₁) 1 usw. 2 2 Es sei zweitens S=([44][E₂H]), ([P₂S][4。 4₁]) = T₁, ([Q₂S] [A。4₁]) = U₁ usw.; also (P₂Е¸½) (H₁Е¸Â¸ Ã₁) = (T₁ Ę₁ Α 4₁) usw.; demnach ist die Reihenfolge PQR... A dieselbe wie T₁, U₁, V₁... A. Ebenso für die Multiplikation von links. 1 Aus diesen beiden Sätzen folgen nach I 129 das additive und das multiplikative Anordnungsgesetz. 19. Satz: Die Grundsätze der Anordnung 1, 2, 3, 4 sind unab- hängig von sämtlichen Verknüpfungsgrundsätzen, zu denen man noch den Pascalschen Satz hinzunehmen kann. Beweis: In den Koordinatengeometrien in einem gewöhnlichen imaginären Zahlensystem bestehen sämtliche Verknüpfungsaxiome und der Pascalsche Satz, aber nicht die Anordnungssätze 1, 2, 3, 4, da sonst die Koordinaten, d. h. das imaginäre Zahlensystem (nach 18) ein linear geordnetes Größensystem wäre, was (nach I 145) nicht der Fall ist. 20. Satz: Diejenigen Verknüpfungsgrundsätze, welche sich auf die Existenz von Schnittelementen (Geraden, Punkten) beziehen, sind unabhängig von den Anordnungsgrundsätzen und denjenigen Ver- knüpfungsgrundsätzen, welche sich auf die Existenz von Verbindungs- elementen (Ebenen, Geraden) beziehen. Beweis: Die unter II 11 p. 57 betrachtete Geometrie genügt (nach 5) allen Anordnungsgrundsätzen und den „Verbindungsgrund- sätzen", aber nicht den Schnittgrundsätzen". P