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III. Projektive Geometrie.
16. Satz: Gelten in einer Geometrie die Anordnungsgrundsätze
1, 2, 3, so bilden die Würfe in derselben eine linear geordnete
Menge, d. h. es besteht der Grundsatz, daß aus p<q, q<r stets
p<r folgt.
Beweis: 1) Aus (PQA,EA), (QRAEA) folgt
PQAE, QRAE, also PRAE,
hieraus und aus PAEA folgt PRAEA.
2) Aus PQAEA, QAREA folgt
PAEA, AREA, also PAREA.
3) Aus PQAEA, QAERA folgt
PÃEA, ÁÅERA, also PA, ERA.
4) Aus PAQEA, AQREA folgt
PAEA, AREA, also PAREA.
5) Aus PAQEA, AQERA folgt
PAEA, AERA, also PA ERA.
6) Aus PAEQA, AEQRA folgt
PAEA, AERA, also PAERA.
7) Aus APQEA, AQREA folgt
APQE, AQRE, also A,PRE,
hieraus und aus AREA folgt A PREA.
8) Aus APQEA, AQERA folgt
APEA, AERA, also A, PERA.
9) Aus APEQA, AEQRA folgt
APEA, АERA, also APERA.
10) Aus AEPQA, AEQRA folgt
EPQA, EQRA, also EPRA,
hieraus und aus AEPA folgt AEPRA.
Demnach folgt stets aus
daß
(PøEA) < (QøEA), (QAEA) < (RAEA),
(PAEA) < (RAEA)
ist, was zu beweisen war.
17. Satz: Ist p<q<r oder p>q>r, so ist PR getrennt
durch QA und umgekehrt.