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II. Projektive Geometrie.
der Multiplikation nicht benutzt, so ist der Satz vom Desarguesschen
Satze allein abhängig. Für räumliche Schließungssätze gilt nach 148
dasselbe; man kann aber auch jeden räumlichen Schließungssatz
folgendermaßen auf einen ebenen zurückführen. Man nehme die drei
Elemente E, 0, 0', so daß sie weder unter sich noch mit irgend
welchen Elementen der räumlichen Figur koinzidieren. Jeder Punkt
P der Figur wird durch das Punktpaar P' = ([O'P]E), P" = ([0″ P]E)
der Ebene E, jede Gerade & durch das Geradenpaar G' [{0' } E],
&″ = [{0″& } E] der Ebene E repräsentiert, jede Ebene durch irgend
drei ihrer Punkte, die nicht in einer Geraden liegen. Jede Koinzidenz
im Raume besteht entweder darin, daß vier Punkte P, Q, R, S (oder
zwei Gerade & = [PQ], H
[PQ], $ = [RS]) in einer Ebene liegen, oder sie
ist aus solchen Koinzidenzen zusammengesetzt. Sie kommt also auf
ebene Koinzidenzen in E von der Art zurück, daß die drei Punkte
(G′H'), (G″H'), ([O′0″]E) in einer Geraden liegen.
139. Durch die Hinzunahme des Pascalschen Satzes wird die in
113 bis 130 begründete Rechnung mit Würfen dahin vervollständigt,
daß nunmehr beliebige Würfe in bezug auf Gleichheit und Ver-
schiedenheit verglichen werden können. Dazu dienen die folgenden
Definitionen und Sätze:
140. Definition: Unter einem Wurf werden vier beliebige
Punkte einer Geraden verstanden. Zwei Würfe ABCD, A₁В₁C₁D₁
heißen perspektivisch erster Ordnung, wenn [AA], [BB], [CC],
[DD] durch denselben Punkt (S₁) (das Perspektivitätszentrum) gehen,
in Zeichen: (ABCD) ¯ (¸¸тÐ₁). Sind zwei Würfe einem dritten
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S1
perspektivisch erster Ordnung, so sind sie unter sich perspektivisch
zweiter Ordnung usw. Zwei Würfe können zugleich von zwei ver-
schiedenen Ordnungen perspektivisch sein. Zwei Würfe heißen gleich,
wenn sie von beliebiger Ordnung perspektivisch sind. Diese Definition
ist zulässig, wenn der „Fundamentalsatz der projektiven Geometrie“
besteht:
141. Satz: Sind zwei Würfe ABCD und A'B'C'D' gleich, so
wird durch jede Folge von Perspektivitäten, welche ABC resp. in
A'B'C' überführt, auch D in D' übergeführt.
Beweis: Dieser Satz ist wie jeder Schließungssatz nach 138 auf
Grund des Desarguesschen und des Pascalschen Satzes rechnerisch
beweisbar. Einen rein-geometrischen Beweis desselben Satzes gab
Schur*) auf Grund der folgenden Hilfssätze:
*) Math. Ann. 51 (1899). Der hier für den entscheidenden Satz 143 gegebene
Beweis ist wesentlich anders und erheblich einfacher als der entsprechende bei Schur.
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