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II. Projektive Geometrie.
also auch
also
Andererseits sind
harmonisch, demnach ist
F₁
Nun ist
also
sein, so ist
also
([GQ][44]), d. h. Q
0
1
oder
Sollte aber z. B.
denn es wird
T2
X1
A₁, A。, E₁, ([G' Q₂] [A。 A₁]).
A1, Ao, E1, Fi
=
1
X2
G'
(E2 Q2 A A₂),
X1
=
§1
§1
.
§.
§; — (E‚ F¸ ø ^₂)
A
([A。A₂][F₁G']) = H₂.
(H, FAA),
=
X₁§1 + X₂ § 2 0.
=
H₂ = A。
2
A₁, GA₁,
(H₂ F½ ø Â) = 0,
2 0
\,
= [44],
X₂ = (E₁ Q₁ AA₁) = 0,
X2
1
X1
Q₁ = ([A。A₁][GE₂]) = 4₁·
136. Satz: Für eine ebene Geometrie ist das Bestehen des
Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung
für die Einführbarkeit von Koordinaten.
Beweis folgt einerseits aus 84, andererseits aus den Entwick-
lungen von 113 bis 135.
137. Satz: Für eine ebene Geometrie ist das Bestehen des
Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung
dafür, daß sie Schnitt einer räumlichen Geometrie ist.*)
Beweis ergibt sich einerseits aus 58, andererseits kann man nach
113 bis 135 in die ebene Desarguessche Geometrie Koordinaten ein-
führen und alsdann die aus demselben System zu bildende räumliche
Geometrie der Punkte (x。, x1, x2, x3) betrachten; von dieser ist die
ebene Geometrie der sich für x = 0 ergebende Schnitt. Mehr geo-
x3
metrisch beweist man dasselbe, indem man als „Raumgerade" jedes
Geradenpaar [G'G"] der betrachteten Ebene, als „Raumpunkt" jedes
-
*) In affiner Spezialisierung d. h. unter Hinzunahme des Parallelen-Axioms
bewiesen bei Hilbert, Grundlagen der Geometrie § 30.